Considere um poço em um aquífero livre que penetra completamente o aquífero. Antes da operação do poço, a altura piezométrica era de 40 m . Depois de um longo período de bombeamento com uma vazão constante
, a redução nas alturas piezométricas a 50 m e a 150 m foram de 3 m e de
, respectivamente. Qual é a condutividade hidráulica desse aquífero?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Vazão de bombeamento:
. - Altura piezométrica antes do bombeamento:
. - Redução (rebaixamento) em
: . Logo a nova altura em é - Redução em
: . Logo a nova altura em é
O que se pede: determinar a condutividade hidráulica
do aquífero (unidade
).
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática, sem pular etapas).
- O problema descreve um poço que penetra completamente um aquífero livre e diz que houve um “longo período de bombeamento com vazão constante”. Em hidrogeologia, para um bombeamento mantido por tempo longo é comum aproximar o regime por um escoamento praticamente estacionário (estado quase-estacionário). Para aquífero livre plenamente penetrado, a aproximação de Dupuit simplifica o problema e leva à equação de Thiem para aquíferos livres em regime estacionário.
- Conceitos rápidos:
- Condutividade hidráulica
mede a facilidade com que a água passa pelo meio poroso; tem unidade . - A aproximação de Dupuit assume escoamento predominantemente horizontal, gradiente vertical desprezível dentro da região considerada, e que a velocidade média é dada por uma lei de Darcy local: vazão específica radial média
. - Para um poço totalmente penetrante em aquífero livre, integra-se a equação de continuidade com Darcy para obter a relação entre
(carga piezométrica) e (distância radial). A forma prática resultante que relaciona duas medições à mesma vazão é a forma de Thiem para aquífero livre (usada em prova por ser direta e prática).
- Condutividade hidráulica
Justificativa prática: usar a fórmula estacionária (Thiem/Dupuit) é o método adequado porque o enunciado diz “longo período” e fornece drawdowns em duas distâncias — exatamente o tipo de dados que a equação de Thiem usa. A solução transitória (Theis) seria necessária se tivéssemos medidas em diferentes tempos; aqui não é o caso.
Passo 3
Derivação passo a passo (a “aula” matemática) da fórmula que vamos usar.
- A lei de Darcy (na versão radial média) diz que a velocidade média radial é
onde
é a carga piezométrica em metros,
é a distância radial em metros, e o signo indica que o fluxo vai no sentido decrescente de
.
- A vazão total que atravessa um cilindro de raio
e altura efetiva (a lâmina d’água efetiva na seção transversal de escoamento) é a velocidade vezes a área lateral:
- Substituindo
de Darcy:
- Reorganizando e separando variáveis:
- Integramos entre duas distâncias
e com as correspondentes cargas e :
- Calculando as integrais:
- Rearranjando obtemos a forma usual conveniente:
- Daí isolamos
:
Explicação das variáveis nesta fórmula:
-
é a vazão total de água que entra no poço (em ). -
são duas distâncias radiais onde foram medidas as cargas (em ). -
é a condutividade hidráulica procurada ( ).
Observação: a diferença aparece em termos de
porque, para aquífero livre sob Dupuit, a equação integra
e gera
.
Passo 4
Substituição numérica detalhada e contas sem pular etapas.
- Peguei do enunciado:
, , , (peguei o valor calculado no Passo 1), (também do Passo 1).
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular o numerador
:
- Calcular o denominador
:
- Agora
:
Arredondando com dois algarismos significativos relevantes (consistentes com dados dados):
Comentário rápido: esse valor é plausível para um aquífero arenoso de permeabilidade moderada; serve como checagem de ordem de grandeza.