Considere um poço em um aquífero livre que penetra completamente o aquífero. Antes da operação do poço, a altura piezométrica era de 40 m . Depois de um longo período de bombeamento com uma vazão constante Q=0,02 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~s}^{-1}, a redução nas alturas piezométricas a 50 m e a 150 m foram de 3 m e de 1,2 \mathrm{~m}, respectivamente. Qual é a condutividade hidráulica desse aquífero?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Vazão de bombeamento: Q=0{,}02\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}.
  • Altura piezométrica antes do bombeamento: h_0=40\\ \mathrm{m}.
  • Redução (rebaixamento) em r_1=50\\ \mathrm{m}: s_1=3\\ \mathrm{m}. Logo a nova altura em r_1 é h_1 = h_0 - s_1 = 40 - 3 = 37\\ \mathrm{m}.
  • Redução em r_2=150\\ \mathrm{m}: s_2=1{,}2\\ \mathrm{m}. Logo a nova altura em r_2 é h_2 = h_0 - s_2 = 40 - 1{,}2 = 38{,}8\\ \mathrm{m}.
O que se pede: determinar a condutividade hidráulica K do aquífero (unidade \mathrm{m\,s^{-1}}).

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática, sem pular etapas).
  • O problema descreve um poço que penetra completamente um aquífero livre e diz que houve um “longo período de bombeamento com vazão constante”. Em hidrogeologia, para um bombeamento mantido por tempo longo é comum aproximar o regime por um escoamento praticamente estacionário (estado quase-estacionário). Para aquífero livre plenamente penetrado, a aproximação de Dupuit simplifica o problema e leva à equação de Thiem para aquíferos livres em regime estacionário.
  • Conceitos rápidos:
    • Condutividade hidráulica K mede a facilidade com que a água passa pelo meio poroso; tem unidade \mathrm{m\,s^{-1}}.
    • A aproximação de Dupuit assume escoamento predominantemente horizontal, gradiente vertical desprezível dentro da região considerada, e que a velocidade média é dada por uma lei de Darcy local: vazão específica radial média v_r = -K\,\dfrac{dh}{dr}.
    • Para um poço totalmente penetrante em aquífero livre, integra-se a equação de continuidade com Darcy para obter a relação entre h (carga piezométrica) e r (distância radial). A forma prática resultante que relaciona duas medições à mesma vazão é a forma de Thiem para aquífero livre (usada em prova por ser direta e prática).
Justificativa prática: usar a fórmula estacionária (Thiem/Dupuit) é o método adequado porque o enunciado diz “longo período” e fornece drawdowns em duas distâncias — exatamente o tipo de dados que a equação de Thiem usa. A solução transitória (Theis) seria necessária se tivéssemos medidas em diferentes tempos; aqui não é o caso.

Passo 3

Derivação passo a passo (a “aula” matemática) da fórmula que vamos usar.
  1. A lei de Darcy (na versão radial média) diz que a velocidade média radial é
v_r = -K\,\frac{dh}{dr},
onde h=h(r) é a carga piezométrica em metros, r é a distância radial em metros, e o signo indica que o fluxo vai no sentido decrescente de h.
  1. A vazão total que atravessa um cilindro de raio r e altura efetiva h (a lâmina d’água efetiva na seção transversal de escoamento) é a velocidade vezes a área lateral:
Q = 2\pi r\,h(r)\,v_r.
  1. Substituindo v_r de Darcy:
Q = -2\pi K\,r\,h(r)\,\frac{dh}{dr}.
  1. Reorganizando e separando variáveis:
\frac{Q}{2\pi K}\,\frac{dr}{r} = -h\,dh.
  1. Integramos entre duas distâncias r_1 e r_2 com as correspondentes cargas h_1 e h_2:
\int_{r_1}^{r_2} \frac{Q}{2\pi K}\,\frac{dr}{r} = -\int_{h_1}^{h_2} h\,dh.
  1. Calculando as integrais:
\frac{Q}{2\pi K}\,\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right) = -\frac{1}{2}\left(h_2^2 - h_1^2\right).
  1. Rearranjando obtemos a forma usual conveniente:
Q = \pi K\,\frac{h_2^2 - h_1^2}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}.
  1. Daí isolamos K:
K = \frac{Q\,\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{\pi\left(h_2^2 - h_1^2\right)}.
Explicação das variáveis nesta fórmula:
  • Q é a vazão total de água que entra no poço (em \mathrm{m^3\,s^{-1}}).
  • r_1,r_2 são duas distâncias radiais onde foram medidas as cargas h_1,h_2 (em \mathrm{m}).
  • K é a condutividade hidráulica procurada ( \mathrm{m\,s^{-1}}).
Observação: a diferença aparece em termos de h^2 porque, para aquífero livre sob Dupuit, a equação integra h\,dh e gera h^2.

Passo 4

Substituição numérica detalhada e contas sem pular etapas.
  • Peguei do enunciado: Q=0{,}02\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}, r_1=50\\ \mathrm{m}, r_2=150\\ \mathrm{m}, h_1=37\\ \mathrm{m} (peguei o valor calculado no Passo 1), h_2=38{,}8\\ \mathrm{m} (também do Passo 1).
  1. Calcular h_2^2 - h_1^2:
h_1^2 = 37^2 = 1369,
h_2^2 = 38{,}8^2 = 38{,}8\times38{,}8 = 1505{,}44,
h_2^2 - h_1^2 = 1505{,}44 - 1369 = 136{,}44\\ (\mathrm{m^2}).
  1. Calcular \ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right):
\frac{r_2}{r_1} = \frac{150}{50} = 3,
\ln(3) \approx 1{,}098612289.
  1. Calcular o numerador Q\ln(r_2/r_1):
Q\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right) = 0{,}02\times 1{,}098612289 \approx 0{,}0219722458\\ (\mathrm{m^3\,s^{-1}}).
  1. Calcular o denominador \pi\left(h_2^2 - h_1^2\right):
\pi\left(h_2^2 - h_1^2\right) \approx 3{,}141592654\times 136{,}44 \approx 428{,}654\\ (\mathrm{m^2}).
  1. Agora K:
K = \frac{0{,}0219722458}{428{,}654} \approx 5{,}127\times 10^{-5}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Arredondando com dois algarismos significativos relevantes (consistentes com dados dados):
K \approx 5{,}13\times 10^{-5}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Comentário rápido: esse valor é plausível para um aquífero arenoso de permeabilidade moderada; serve como checagem de ordem de grandeza.

Resposta

K \approx 5{,}13\times 10^{-5}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}

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