Considere um poço que penetra completamente a espessura de 25 m de um aquífero confinado. Depois de um longo período de bombeamento com uma vazão constante Q=0,05 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~s}^{-1}, a redução nas alturas piezométricas a 50 m e a 150 m foram de 3 m e de 1,2 \mathrm{~m}, respectivamente. Qual é a condutividade hidráulica desse aquífero?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Vazão de bombeamento: Q=0,05\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
    • Espessura do aquífero (poço penetra totalmente): b=25\\ \mathrm{m}.
    • Redução piezométrica (rebaixamento) a r_1=50\\ \mathrm{m}: s_1=3\\ \mathrm{m}.
    • Redução piezométrica a r_2=150\\ \mathrm{m}: s_2=1,2\\ \mathrm{m}.
  • Pergunta:
    • Qual é a condutividade hidráulica K do aquífero?

Passo 2

Entender o modelo físico e a equação que vamos usar (aulas rápidas e gentis).
Quando um poço extrai água de um aquífero confinado em regime estacionário e o fluxo é radial e horizontal, a equação que descreve a variação da carga piezométrica h(r) com a distância radial r ao poço vem da Lei de Darcy aplicada em coordenadas radiais. A forma integrada (conhecida como equação de Thiem para regime estacionário) é:
h(r)= -\frac{Q}{2\pi K b}\ln r + C,
onde:
  • h(r) é a altura piezométrica no raio r;
  • Q é a vazão extraída pelo poço (positiva quando extraindo);
  • K é a condutividade hidráulica (o que queremos);
  • b é a espessura do aquífero;
  • C é uma constante de integração que depende das condições de contorno (por exemplo nível a uma certa distância).
Explicação íntima: a expressão vem de igualar a vazão radial através de um cilindro de raio r e espessura b segundo Darcy:
Q = -K\,b\,2\pi r\frac{dh}{dr},
separando variáveis e integrando em r obtém-se a forma logarítmica acima.

Passo 3

Como não conhecemos a constante C, usamos as duas medidas de rebaixamento fornecidas para eliminar C. Escrevendo h(r_1) e h(r_2) e subtraindo:
s_1 - s_2 = h(\text{referência}) - h(r_1) \;-\; \big(h(\text{referência}) - h(r_2)\big) = \frac{Q}{2\pi K b}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).êê
Aqui uso s_1 e s_2 como os rebaixamentos relativos ao mesmo nível de referência; a diferença s_1-s_2 elimina C. Portanto isolamos K:
K = \frac{Q}{2\pi b (s_1 - s_2)}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Essa fórmula é prática na prova: com duas medidas de rebaixamento em duas distâncias, você acha K sem conhecer constantes extras.

Passo 4

Agora substituímos os números do enunciado.
  • Calcular a razão dos raios:
\frac{r_2}{r_1}=\frac{150}{50}=3.
  • Calcular o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=\ln 3 \approx 1,098612289.
  • Calcular a diferença de rebaixamentos:
s_1-s_2=3-1,2=1,8\\ \mathrm{m}.
Substituindo na fórmula de K:
K = \frac{0,05}{2\pi\cdot25\cdot1,8}\ln 3.

Passo 5

Fazer as contas passo a passo (para poder fazer na prova sem erro).
  • Produto no denominador (antes do \pi):
2\cdot25\cdot1,8 = 90.
  • Então o denominador é 90\pi. Logo
K = \frac{0,05\cdot\ln 3}{90\pi}.
  • Calcular numerador:
0,05\cdot\ln 3 \approx 0,05\cdot1,098612289 \approx 0,0549306145.
  • Calcular denominador numérico:
90\pi \approx 90\times3,141592654 \approx 282,7433388.
  • Dividindo:
K \approx \frac{0,0549306145}{282,7433388} \approx 0,0001942\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Arredondando com senso prático (3 algarismos significativos):
K \approx 1,94\times10^{-4}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Resposta

K=1,94\times10^{-4}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}

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