Considere um poliedro convexo formado apenas por faces triangulares e octogonais. Sabendo que nesse poliedro o número de vértices corresponde à \frac{2}{3} do número de arestas e que a metade do número de arestas excede em 4 unidades o número de faces, determine o número de faces octogonais e o número de faces triangulares.

Passo 1

O enunciado descreve um poliedro convexo com apenas faces triangulares e octogonais. Denotando por F_3 o número de faces triangulares, por F_8 o número de faces octogonais, por F=F_3+F_8 o total de faces, por E o número de arestas e por V o número de vértices, temos as seguintes informações:
  1. O número de vértices corresponde a \tfrac{2}{3} do número de arestas, ou seja,
V = \frac{2}{3}E.
  1. A metade do número de arestas excede em 4 unidades o número de faces, isto é,
\frac{E}{2} = F + 4.
Além disso, usaremos a fórmula de Euler para poliedros convexos,
V - E + F = 2,
e a contagem de arestas em todas as faces, em que cada aresta pertence a duas faces,
3F_3 + 8F_8 = 2E.

Passo 2

Substituindo V=\tfrac{2}{3}E na fórmula de Euler, obtemos
\frac{2}{3}E \;-\; E \;+\; F \;=\;2 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{3}E + F = 2 \quad\Longrightarrow\quad E = 3F - 6.
Por outro lado, da relação \tfrac{E}{2}=F+4 segue
E = 2F + 8.
Igualando as duas expressões para E, temos
3F - 6 = 2F + 8 \quad\Longrightarrow\quad F = 14 \quad\Longrightarrow\quad E = 2\cdot 14 + 8 = 36.
E, consequentemente,
V = \frac{2}{3}\,E = \frac{2}{3}\times 36 = 24.

Passo 3

Agora usamos a contagem de arestas pelas faces:
3F_3 + 8F_8 = 2E = 72,
juntamente com F_3 + F_8 = F = 14. Substituindo F_3 = 14 - F_8 na primeira equação,
3(14 - F_8) + 8F_8 = 72 \quad\Longrightarrow\quad 42 + 5F_8 = 72 \quad\Longrightarrow\quad 5F_8 = 30 \quad\Longrightarrow\quad F_8 = 6.
Logo,
F_3 = 14 - 6 = 8.

Resposta

O poliedro tem 6 faces octogonais e 8 faces triangulares.

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