Considere um poliedro convexo formado apenas por faces triangulares e octogonais. Sabendo que nesse poliedro o número de vértices corresponde à
do número de arestas e que a metade do número de arestas excede em 4 unidades o número de faces, determine o número de faces octogonais e o número de faces triangulares.
Passo 1
O enunciado descreve um poliedro convexo com apenas faces triangulares e octogonais. Denotando por
o número de faces triangulares, por
o número de faces octogonais, por
o total de faces, por
o número de arestas e por
o número de vértices, temos as seguintes informações:
- O número de vértices corresponde a
do número de arestas, ou seja,
- A metade do número de arestas excede em 4 unidades o número de faces, isto é,
Além disso, usaremos a fórmula de Euler para poliedros convexos,
e a contagem de arestas em todas as faces, em que cada aresta pertence a duas faces,
Passo 2
Substituindo
na fórmula de Euler, obtemos
Por outro lado, da relação
segue
Igualando as duas expressões para
, temos
E, consequentemente,
Passo 3
Agora usamos a contagem de arestas pelas faces:
juntamente com
. Substituindo
na primeira equação,
Logo,
Resposta
O poliedro tem 6 faces octogonais e 8 faces triangulares.