Um poliedro convexo possui, apenas, faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em duas unidades. Calcule o número de faces de cada tipo, sabendo que o poliedro tem 7 vértices.

Passo 1

O enunciado descreve um poliedro convexo com apenas faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. Sejam T o número de faces triangulares, Q o número de faces quadrangulares e P o número de faces pentagonais. Sabemos que
T = P + 2
e que o poliedro tem V=7 vértices. Para resolver, vamos usar a fórmula de Euler e a relação entre faces e arestas.

Passo 2

Pela fórmula de Euler para poliedros:
V - E + F = 2,
onde F = T + Q + P é o número total de faces e E o número de arestas. Como V=7, temos
7 - E + (T + Q + P) = 2
ou seja
E = T + Q + P + 5.

Passo 3

Contando cada aresta por dois lados, a soma dos lados de todas as faces é
3T + 4Q + 5P = 2E.
Substituindo E = T + Q + P +5, obtém-se
3T + 4Q + 5P = 2\bigl(T + Q + P + 5\bigr) = 2T + 2Q + 2P + 10.
Reagrupando dá
T + 2Q + 3P = 10.

Passo 4

Usamos agora a condição T = P + 2. Substituindo em T + 2Q + 3P = 10, obtemos
(P + 2) + 2Q + 3P = 10 \quad\Longrightarrow\quad 4P + 2Q = 8 \quad\Longrightarrow\quad 2P + Q = 4 \quad\Longrightarrow\quad Q = 4 - 2P.

Passo 5

Procuramos soluções inteiras não negativas. Como há faces pentagonais e quadrangulares, exigimos P>0 e Q>0. Dos pares (P,Q) possíveis:
  • Se P=1, então Q=4-2\cdot1=2 e T=P+2=3.
  • Se P\ge2, então Q\le0, o que não vale.
    Logo a única solução viável é
P = 1,\quad Q = 2,\quad T = 3.

Resposta

O poliedro tem 3 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face pentagonal.

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