Considere um polígono convexo de
lados e suponha que não há duas de suas diagonais que sejam paralelas nem três que concorram em um mesmo ponto que não seja vértice. Quantos são os pontos de interseção dessas diagonais?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polígono convexo com $ n $ lados. A questão quer saber quantos pontos de interseção as diagonais desse polígono têm, dado que:
- Nenhuma duas diagonais são paralelas.
- Nenhuma três diagonais se encontram no mesmo ponto que não seja um vértice.
Pra resolver isso, vamos precisar entender como contar as diagonais e como elas se cruzam dentro do polígono. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma diagonal. Em um polígono, uma diagonal é uma linha que conecta dois vértices que não são adjacentes. Então, num polígono de $ n $ lados, quantas diagonais a gente tem?
Passo 3
Para contar as diagonais, usamos a fórmula:
Isso porque cada vértice se conecta a $ n - 3 $ outros vértices para formar uma diagonal (não conta ele mesmo e os dois vizinhos). E como cada diagonal é contada duas vezes (um de cada ponta), dividimos por 2.
Passo 4
Agora, queremos saber quantos pontos de interseção essas diagonais formam. Cada ponto de interseção é onde duas diagonais se cruzam. Como temos a condição de que nenhuma três diagonais se encontram no mesmo ponto, cada par de diagonais distintos vai se cruzar em no máximo um ponto.
Passo 5
Para encontrar o número de pontos de interseção, precisamos contar quantos pares de diagonais diferentes existem. Isso é basicamente escolher 2 diagonais dentre todas as que temos. Usamos a combinação:
Onde $ D $ é o número de diagonais.
Passo 6
Substituindo $ D $ pela fórmula das diagonais:
Mas isso fica complicado. Existe uma fórmula mais direta para calcular os pontos de interseção das diagonais de um polígono convexo, que é:
Essa fórmula conta quantas combinações de 4 vértices podemos escolher, já que cada conjunto de 4 vértices define um ponto de interseção único das diagonais que os conectam.
Passo 7
Então, a resposta final para o número de pontos de interseção das diagonais de um polígono convexo de $ n $ lados, com as condições dadas, é:
Resposta
O número de pontos de interseção das diagonais é $ \frac{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}{24} $.