Quantos são os anagramas da palavra CARAGUATATUBA? Quantos começam por vogal?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir quantos anagramas a palavra CARAGUATATUBA tem e quantos desses começam com uma vogal. Vamos usar conceitos de Permutação com Repetição, que é quando reorganizamos as letras de uma palavra que tem letras repetidas.
Passo 2
Primeiro, vamos contar quantas letras tem a palavra CARAGUATATUBA e verificar quais letras se repetem. Vamos lá:
- C: 1
- A: 5
- R: 1
- G: 1
- U: 2
- T: 2
- B: 1
Total de letras: 13.
Passo 3
Agora, para calcular o total de anagramas possíveis dessa palavra, usamos a fórmula da permutação com repetição:
Aqui, o 13! representa todas as possíveis ordenações das 13 letras, e os denominadores 5!, 2!, e 2! ajustam para as repetições das letras A, U e T, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular isso:
Então:
Passo 5
Portanto, o número total de anagramas da palavra CARAGUATATUBA é 12.972.960.
Passo 6
Agora, vamos descobrir quantos desses anagramas começam com uma vogal. As vogais na nossa palavra são A e U.
Primeiro, vamos calcular quantos anagramas começam com a letra A:
- Fixando o primeiro caractere como A, restam 12 letras para organizar.
- Letras restantes: A(4), U(2), T(2), C(1), R(1), G(1), B(1).
A fórmula fica:
Calculando:
Passo 7
Agora, vamos calcular quantos anagramas começam com a letra U:
- Fixando o primeiro caractere como U, restam 12 letras para organizar.
- Letras restantes: A(5), U(1), T(2), C(1), R(1), G(1), B(1).
A fórmula fica:
Calculando:
Passo 8
Agora, somamos os anagramas que começam com A e os que começam com U:
Resposta
Existem 12.972.960 anagramas da palavra CARAGUATATUBA e 6.985.440 desses anagramas começam com uma vogal.