Quantos são os anagramas da palavra CARAGUATATUBA? Quantos começam por vogal?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir quantos anagramas a palavra CARAGUATATUBA tem e quantos desses começam com uma vogal. Vamos usar conceitos de Permutação com Repetição, que é quando reorganizamos as letras de uma palavra que tem letras repetidas.

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantas letras tem a palavra CARAGUATATUBA e verificar quais letras se repetem. Vamos lá:
  • C: 1
  • A: 5
  • R: 1
  • G: 1
  • U: 2
  • T: 2
  • B: 1
Total de letras: 13.

Passo 3

Agora, para calcular o total de anagramas possíveis dessa palavra, usamos a fórmula da permutação com repetição:
Número de anagramas = 13!5! times 2! times 2! ú
Aqui, o 13! representa todas as possíveis ordenações das 13 letras, e os denominadores 5!, 2!, e 2! ajustam para as repetições das letras A, U e T, respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular isso:
13! = 6227020800
5! = 120
2! = 2
Então:
13!5! times 2! times 2! = 6227020800120 times 2 times 2 = 6227020800480 = 12972960

Passo 5

Portanto, o número total de anagramas da palavra CARAGUATATUBA é 12.972.960.

Passo 6

Agora, vamos descobrir quantos desses anagramas começam com uma vogal. As vogais na nossa palavra são A e U.
Primeiro, vamos calcular quantos anagramas começam com a letra A:
  • Fixando o primeiro caractere como A, restam 12 letras para organizar.
  • Letras restantes: A(4), U(2), T(2), C(1), R(1), G(1), B(1).
A fórmula fica:
12!4! times 2! times 2!
Calculando:
12! = 479001600
4! = 24
2! = 2
47900160024 times 2 times 2 = 47900160096 = 4989600

Passo 7

Agora, vamos calcular quantos anagramas começam com a letra U:
  • Fixando o primeiro caractere como U, restam 12 letras para organizar.
  • Letras restantes: A(5), U(1), T(2), C(1), R(1), G(1), B(1).
A fórmula fica:
12!5! times 1! times 2!
Calculando:
12! = 479001600
5! = 120
2! = 2
479001600120 times 1 times 2 = 479001600240 = 1995840

Passo 8

Agora, somamos os anagramas que começam com A e os que começam com U:
4989600 + 1995840 = 6985440

Resposta

Existem 12.972.960 anagramas da palavra CARAGUATATUBA e 6.985.440 desses anagramas começam com uma vogal.

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