Uma fila de cadeiras no cinema tem 20 poltronas. De quantos modos 6 casais podem se sentar nessas poltronas de modo que nenhum marido se sente separado de sua mulher?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de contagem aqui. No cinema, há uma fila com 20 poltronas e temos 6 casais que querem se sentar de modo que nenhum marido fique separado da sua esposa. Nosso objetivo é descobrir de quantas maneiras esses casais podem se organizar nessas poltronas mantendo os casais juntos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de arranjos e combinatória.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nos casais como um único bloco. Como cada casal ocupa 2 poltronas juntas, em vez de pensar em 12 pessoas individuais, vamos considerar que temos 6 “blocos” de 2 pessoas cada.

Passo 3

Agora, como cada casal ocupa 2 poltronas, os 6 casais vão ocupar um total de 6 times 2 = 12 poltronas. Como temos 20 poltronas no total, isso deixa 20 - 12 = 8 poltronas que vão ficar vazias.

Passo 4

Então, basicamente, temos que arranjar esses 6 blocos de casais e as 8 poltronas vazias em uma fila. Isso é como se estivéssemos arranjando 14 “objetos” no total (6 blocos + 8 poltronas vazias).
O número de maneiras de arranjar 14 objetos diferentes é dado por 14! (14 fatorial).

Passo 5

Mas espera, cada casal pode se sentar de duas maneiras diferentes: o marido pode ficar à esquerda da esposa ou à direita. Então, para cada um dos 6 casais, temos 2 possibilidades de arranjo interno.
Isso significa que precisamos multiplicar o resultado anterior por 2^6 para considerar todas as combinações internas dos casais.

Resposta

Portanto, o número total de maneiras que os 6 casais podem se sentar nas 20 poltronas sem que nenhum marido fique separado da sua mulher é:
14! times 2^6

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