Considere um polímero que tem o seu comportamento viscoelástico linear em fluência descrito pela seguinte equação:
, onde t é o tempo em horas. Um corpo de prova desse polímero foi solicitado em tração com o seguintes programas de tensão:
No tempo
o material foi submetido a uma tensão constante de
por um período de
, seguido por uma retirada súbita da tensão. Qual é a deformação em t = 20 h ?
No tempo
Passo 1
Enunciado e dados conhecidos (com tudo explícito e organizado):
- A função de fluência (compliance) do polímero é
onde
está em horas.
-
O corpo de prova foi submetido a uma tensão constante de
iniciada em e mantida até . Em a tensão foi retirada de forma súbita (isto é, caiu de para ). -
A pergunta: qual é a deformação (ou seja, a tensão unitária
) no instante ?
Observações sobre unidades que vamos usar depois:
está em
e a tensão dada em
, então teremos que converter
para
quando multiplicarmos por
. Lembrete:
.
Passo 2
Princípio físico/fórmula que liga fluência e histórico de tensão (aulas rápidas e concretas):
Em linear viscoelasticidade, a resposta (deformação) em função do tempo é obtida pela superposição de efeitos de cada incremento de tensão. A fórmula geral é a fórmula de Boltzmann (convolução entre compliance e variação de tensão):
Aqui:
-
é a deformação no tempo (adimensional), -
é a fluência (compliance) avaliada no tempo relativo (unidade ), -
é o histórico de tensão (em se quisermos consistência de unidades), -
são os incrementos infinitesimais de tensão ao longo do histórico; a integral soma as contribuições de cada pequena mudança de tensão ponderada por no tempo relativo .
Intuição simples: um degrau de tensão aplicado no tempo
e de amplitude
produz, para
, uma contribuição de deformação
. Para históricos com passos, somamos contribuições de cada passo.
Passo 3
Aplicando o princípio ao nosso histórico de tensão (passo a passo, sem pular contas):
O histórico dado pode ser escrito usando a função degrau
:
onde
. Isso significa: um passo positivo de magnitude
em
e um passo negativo (retirada súbita) de magnitude
em
.
Cada passo contribui para
como descrito no passo anterior. Então, para
, a deformação é a soma da contribuição do passo em
e da contribuição do passo em
:
Explicando: o primeiro termo vem do degrau de entrada em
(ele continua influenciando para todos os
), o segundo é a contribuição da retirada em
(sinal negativo) que cancela parte da fluência que ainda se desenvolveria além de
.
Passo 4
Substituindo
e os valores numéricos, com cuidado de unidades:
Temos
. Logo, para
e
,
A tensão aplicada é
. Para multiplicar por
(em
) convertemos
para
:
Agora a expressão para
é
Fatorando
:
Passo 5
Cálculo numérico e interpretação final (contas sem pular etapas):
Calcule as raízes:
Subtraindo:
Multiplicando por
:
Arredondando de forma conveniente (3 casas significativas para strain):
Isso é uma deformação adimensional; em porcentagem é
. Bom sinal: a fluência faz a deformação crescer durante os primeiros
e, após a retirada da tensão, a deformação diminui gradualmente — aqui, em
sobra essa fração que calculamos.