Considere um polímero que tem o seu comportamento viscoelástico linear em fluência descrito pela seguinte equação: \mathbf{D}(\mathbf{t})=\frac{\sqrt{\mathbf{t}}}{2} \mathrm{GPa}^{-1}, onde t é o tempo em horas. Um corpo de prova desse polímero foi solicitado em tração com o seguintes programas de tensão:
No tempo \mathbf{t}=\mathbf{0} o material foi submetido a uma tensão constante de \mathbf{1 0 ~ M P a} por um período de \mathbf{1 0 ~ h}, seguido por uma retirada súbita da tensão. Qual é a deformação em t = 20 h ?

Passo 1

Enunciado e dados conhecidos (com tudo explícito e organizado):
  • A função de fluência (compliance) do polímero é
D(t)=\frac{\sqrt{t}}{2}\\ \mathrm{GPa}^{-1},
onde t está em horas.
  • O corpo de prova foi submetido a uma tensão constante de 10\\ \mathrm{MPa} iniciada em t=0 e mantida até t=10\\ \mathrm{h}. Em t=10\\ \mathrm{h} a tensão foi retirada de forma súbita (isto é, caiu de 10\\ \mathrm{MPa} para 0).
  • A pergunta: qual é a deformação (ou seja, a tensão unitária \varepsilon) no instante t=20\\ \mathrm{h}?
Observações sobre unidades que vamos usar depois: D(t) está em \mathrm{GPa}^{-1} e a tensão dada em \mathrm{MPa}, então teremos que converter \mathrm{MPa} para \mathrm{GPa} quando multiplicarmos por D. Lembrete: 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{MPa}.

Passo 2

Princípio físico/fórmula que liga fluência e histórico de tensão (aulas rápidas e concretas):
Em linear viscoelasticidade, a resposta (deformação) em função do tempo é obtida pela superposição de efeitos de cada incremento de tensão. A fórmula geral é a fórmula de Boltzmann (convolução entre compliance e variação de tensão):
\varepsilon(t)=\int_{0}^{t} D(t-s)\,d\sigma(s).
Aqui:
  • \varepsilon(t) é a deformação no tempo t (adimensional),
  • D(\tau) é a fluência (compliance) avaliada no tempo relativo \tau (unidade \mathrm{GPa}^{-1}),
  • \sigma(s) é o histórico de tensão (em \mathrm{GPa} se quisermos consistência de unidades),
  • d\sigma(s) são os incrementos infinitesimais de tensão ao longo do histórico; a integral soma as contribuições de cada pequena mudança de tensão ponderada por D no tempo relativo t-s.
Intuição simples: um degrau de tensão aplicado no tempo a e de amplitude \Delta\sigma produz, para t\ge a, uma contribuição de deformação \Delta\sigma\;D(t-a). Para históricos com passos, somamos contribuições de cada passo.

Passo 3

Aplicando o princípio ao nosso histórico de tensão (passo a passo, sem pular contas):
O histórico dado pode ser escrito usando a função degrau \mathrm{H}(t):
\sigma(t)=\sigma_0\big[\mathrm{H}(t)-\mathrm{H}(t-10)\big],
onde \sigma_0=10\\ \mathrm{MPa}. Isso significa: um passo positivo de magnitude \sigma_0 em t=0 e um passo negativo (retirada súbita) de magnitude -\sigma_0 em t=10.
Cada passo contribui para \varepsilon(t) como descrito no passo anterior. Então, para t\ge 10, a deformação é a soma da contribuição do passo em t=0 e da contribuição do passo em t=10:
\varepsilon(t)=\sigma_0\,D(t)-\sigma_0\,D(t-10)=\sigma_0\big[D(t)-D(t-10)\big],\qquad t\ge 10.
Explicando: o primeiro termo vem do degrau de entrada em t=0 (ele continua influenciando para todos os t), o segundo é a contribuição da retirada em t=10 (sinal negativo) que cancela parte da fluência que ainda se desenvolveria além de t=10.

Passo 4

Substituindo D(t) e os valores numéricos, com cuidado de unidades:
Temos D(t)=\dfrac{\sqrt{t}}{2}\\ \mathrm{GPa}^{-1}. Logo, para t=20 e t=10,
D(20)=\frac{\sqrt{20}}{2}\\ \mathrm{GPa}^{-1},\qquad D(10)=\frac{\sqrt{10}}{2}\\ \mathrm{GPa}^{-1}.
A tensão aplicada é \sigma_0=10\\ \mathrm{MPa}. Para multiplicar por D (em \mathrm{GPa}^{-1}) convertemos \sigma_0 para \mathrm{GPa}:
\sigma_0 = 10\\ \mathrm{MPa} = 0{,}01\\ \mathrm{GPa}.
Agora a expressão para \varepsilon(20) é
\varepsilon(20)=\sigma_0\big[D(20)-D(10)\big]=0{,}01\left(\frac{\sqrt{20}}{2}-\frac{\sqrt{10}}{2}\right).
Fatorando \tfrac{1}{2}:
\varepsilon(20)=0{,}01\cdot\frac{1}{2}\big(\sqrt{20}-\sqrt{10}\big)=0{,}005\big(\sqrt{20}-\sqrt{10}\big).

Passo 5

Cálculo numérico e interpretação final (contas sem pular etapas):
Calcule as raízes:
\sqrt{20}\approx 4{,}472135955,\qquad \sqrt{10}\approx 3{,}162277660.
Subtraindo:
\sqrt{20}-\sqrt{10}\approx 1{,}309858295.
Multiplicando por 0{,}005:
\varepsilon(20)\approx 0{,}005\times 1{,}309858295 \approx 0{,}0065492915.
Arredondando de forma conveniente (3 casas significativas para strain):
\varepsilon(20)\approx 0{,}00655.
Isso é uma deformação adimensional; em porcentagem é \approx 0{,}655\%. Bom sinal: a fluência faz a deformação crescer durante os primeiros 10\\ \mathrm{h} e, após a retirada da tensão, a deformação diminui gradualmente — aqui, em t=20\\ \mathrm{h} sobra essa fração que calculamos.

Resposta

\varepsilon(20\\ \mathrm{h})=0{,}00655

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