Um elemento de Maxwell consiste em uma mola de módulo
e um amortecedor de viscosidade
Pa.s. Calcule a tensão para
, quando este é solicitado de acordo com:
a) No tempo
uma deformação instantânea de
é aplicada e mantida constante.
b) No tempo
a deformação é aumentada instantaneamente de 1% para 2%.
a) No tempo
b) No tempo
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a tensão no elemento de Maxwell no instante
nas duas situações abaixo. Informações fornecidas:
- Módulo da mola:
. - Viscosidade do amortecedor:
. - Situação (a): no tempo
é aplicada instantaneamente uma deformação de e essa deformação é mantida constante para . - Situação (b): inicialmente, até
a deformação é ; no instante a deformação aumenta instantaneamente de para (ou seja, um salto de ) e depois é mantida até .
Dados que vou usar para responder: calcularem cada situação.
Passo 2
Vou relembrar e derivar a equação constitutiva do modelo de Maxwell (mola e amortecedor em série) de modo bem didático:
- Denoto por
a deformação total aplicada ao conjunto; a deformação da mola; a deformação do amortecedor. - Como estão em série, as deformações somam:
- A tensão é a mesma nos dois elementos e chamo-a de
. Para a mola vale a lei de Hooke:
- Para o amortecedor (viscoso) vale a relação tensão-velocidade:
onde o ponto significa derivada temporal e
é a viscosidade.
- Derivo em relação ao tempo a expressão da mola isolando
: . Derivando:
- Usando
e substituindo (rearranjando a relação do amortecedor), obtenho a equação diferencial que relaciona tensão e deformação:
- Multiplicando por
e rearranjando, a forma padrão é
Explicação do que cada termo significa:
-
é a taxa de variação da tensão. -
é um parâmetro inverso de tempo (frequência de relaxação). -
é a fonte (entrada) quando a deformação varia no tempo.
Passo 3
Defino o tempo de relaxação (constante de tempo) do elemento de Maxwell:
Com os números dados:
Interpretação física:
é a ordem de grandeza do tempo em que a tensão relaxa (decai) significativamente quando a deformação é mantida constante.
Passo 4
Resolver a situação (a) — passo a passo e explicando cada ideia:
- Histórico de deformação:
com para . Logo para . - Substituindo na equação constitutiva, para
obtemos a equação homogênea:
- Solução dessa ODE é exponencial:
- Determinar
: no instante imediatamente após a aplicação instantânea da deformação a mola suporta imediatamente a porção elástica da deformação (o amortecedor não suporta deformação instantânea). Portanto
- Assim, para
- Avaliando em
:
- Valor numérico aproximado:
, então
Passo 5
Resolver a situação (b) — explicação detalhada e passo a passo:
- Histórico de deformação:
- Para
: . - No instante
: salto instantâneo de deformação , de modo que para a deformação é .
- Para
- Para
a equação é a mesma do caso (a) com solução
- Avalio o valor imediatamente antes do salto:
- No salto instantâneo de deformação
a mola sofre essa variação instantânea e a tensão aumenta instantaneamente em (o amortecedor não consegue gerar salto instantâneo de tensão). Logo o valor imediatamente após o salto é
- Para
a deformação é mantida constante (agora em ), então a equação para volta a ser homogênea e a tensão relaxa a partir do valor inicial :
- Agora avalio em
. Note que . Portanto
- Simplifico a expressão usando exponenciais:
. Então
- Cálculo numérico:
e . Soma . Assim
Resposta
(a)
(b)
(b)