Um elemento de Maxwell consiste em uma mola de módulo E_{M}=\mathbf{1 0}^{\mathbf{9}} \mathbf{P a} e um amortecedor de viscosidade \eta_{M}=\mathbf{1 0}{ }^{\mathbf{1 1}} Pa.s. Calcule a tensão para \boldsymbol{t}=\mathbf{1 0 0} \boldsymbol{s}, quando este é solicitado de acordo com:
a) No tempo \boldsymbol{t}=\mathbf{0} uma deformação instantânea de \mathbf{1} \% é aplicada e mantida constante.
b) No tempo t=30 s a deformação é aumentada instantaneamente de 1% para 2%.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a tensão no elemento de Maxwell no instante t=100\\ \mathrm{s} nas duas situações abaixo. Informações fornecidas:
  • Módulo da mola: E_{M}=10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Viscosidade do amortecedor: \eta_{M}=10^{11}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Situação (a): no tempo t=0 é aplicada instantaneamente uma deformação de 1\% e essa deformação é mantida constante para t>0.
  • Situação (b): inicialmente, até t=30\\ \mathrm{s} a deformação é 1\%; no instante t=30\\ \mathrm{s} a deformação aumenta instantaneamente de 1\% para 2\% (ou seja, um salto de +1\%) e depois é mantida até t=100\\ \mathrm{s}.
    Dados que vou usar para responder: calcular \sigma(100\\ \mathrm{s}) em cada situação.

Passo 2

Vou relembrar e derivar a equação constitutiva do modelo de Maxwell (mola e amortecedor em série) de modo bem didático:
  • Denoto por \varepsilon(t) a deformação total aplicada ao conjunto; \varepsilon_s(t) a deformação da mola; \varepsilon_d(t) a deformação do amortecedor.
  • Como estão em série, as deformações somam:
\varepsilon(t)=\varepsilon_s(t)+\varepsilon_d(t).
  • A tensão é a mesma nos dois elementos e chamo-a de \sigma(t). Para a mola vale a lei de Hooke:
\sigma(t)=E_{M}\,\varepsilon_s(t).
  • Para o amortecedor (viscoso) vale a relação tensão-velocidade:
\sigma(t)=\eta_{M}\,\dot{\varepsilon}_d(t),
onde o ponto significa derivada temporal e \eta_{M} é a viscosidade.
  • Derivo em relação ao tempo a expressão da mola isolando \varepsilon_s: \varepsilon_s=\sigma/E_{M}. Derivando:
\dot{\varepsilon}_s=\frac{1}{E_{M}}\dot{\sigma}.
  • Usando \dot{\varepsilon}=\dot{\varepsilon}_s+\dot{\varepsilon}_d e substituindo \dot{\varepsilon}_d=\sigma/\eta_{M} (rearranjando a relação do amortecedor), obtenho a equação diferencial que relaciona tensão e deformação:
\dot{\varepsilon}(t)=\frac{1}{E_{M}}\dot{\sigma}(t)+\frac{\sigma(t)}{\eta_{M}}.
  • Multiplicando por E_{M} e rearranjando, a forma padrão é
\dot{\sigma}(t)+\frac{E_{M}}{\eta_{M}}\sigma(t)=E_{M}\,\dot{\varepsilon}(t).
Explicação do que cada termo significa:
  • \dot{\sigma} é a taxa de variação da tensão.
  • \dfrac{E_{M}}{\eta_{M}} é um parâmetro inverso de tempo (frequência de relaxação).
  • E_{M}\dot{\varepsilon} é a fonte (entrada) quando a deformação varia no tempo.

Passo 3

Defino o tempo de relaxação (constante de tempo) do elemento de Maxwell:
\tau=\frac{\eta_{M}}{E_{M}}.
Com os números dados:
\tau=\frac{10^{11}}{10^{9}}=10^{2}\\ \mathrm{s}=100\\ \mathrm{s}.
Interpretação física: \tau é a ordem de grandeza do tempo em que a tensão relaxa (decai) significativamente quando a deformação é mantida constante.

Passo 4

Resolver a situação (a) — passo a passo e explicando cada ideia:
  • Histórico de deformação: \varepsilon(t)=\varepsilon_{0} com \varepsilon_{0}=1\%=0{,}01 para t\ge0. Logo \dot{\varepsilon}(t)=0 para t>0.
  • Substituindo na equação constitutiva, para t>0 obtemos a equação homogênea:
\dot{\sigma}(t)+\frac{1}{\tau}\sigma(t)=0.
  • Solução dessa ODE é exponencial:
\sigma(t)=\sigma(0)\,e^{-t/\tau}\qquad(t>0).
  • Determinar \sigma(0): no instante imediatamente após a aplicação instantânea da deformação a mola suporta imediatamente a porção elástica da deformação (o amortecedor não suporta deformação instantânea). Portanto
\sigma(0)=E_{M}\,\varepsilon_{0}=10^{9}\cdot0{,}01=10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
  • Assim, para t>0
\sigma(t)=10^{7}\,e^{-t/100}\\ \mathrm{Pa}.
  • Avaliando em t=100\\ \mathrm{s}:
\sigma(100)=10^{7}\,e^{-100/100}=10^{7}\,e^{-1}.
  • Valor numérico aproximado: e^{-1}\approx0{,}367879, então
\sigma(100)\approx10^{7}\times0{,}367879\approx3{,}67879\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\approx3{,}68\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Resolver a situação (b) — explicação detalhada e passo a passo:
  • Histórico de deformação:
    • Para 0\le t<30\\ \mathrm{s}: \varepsilon(t)=\varepsilon_{0}=0{,}01.
    • No instante t=30\\ \mathrm{s}: salto instantâneo de deformação \Delta\varepsilon=0{,}01, de modo que para t>30\\ \mathrm{s} a deformação é \varepsilon(t)=0{,}02.
  • Para 0<t<30 a equação é a mesma do caso (a) com solução
\sigma(t)=10^{7}\,e^{-t/100}\quad(0<t<30).
  • Avalio o valor imediatamente antes do salto:
\sigma(30^-)=10^{7}\,e^{-30/100}=10^{7}\,e^{-0{,}3}.
  • No salto instantâneo de deformação \Delta\varepsilon=0{,}01 a mola sofre essa variação instantânea e a tensão aumenta instantaneamente em E_{M}\Delta\varepsilon (o amortecedor não consegue gerar salto instantâneo de tensão). Logo o valor imediatamente após o salto é
\sigma(30^+)=\sigma(30^-)+E_{M}\Delta\varepsilon=10^{7}\,e^{-0{,}3}+10^{7}=10^{7}\bigl(e^{-0{,}3}+1\bigr).
  • Para t>30 a deformação é mantida constante (agora em 0{,}02), então a equação para \sigma volta a ser homogênea e a tensão relaxa a partir do valor inicial \sigma(30^+):
\sigma(t)=\sigma(30^+)\,e^{-(t-30)/\tau}=10^{7}\bigl(e^{-0{,}3}+1\bigr)\,e^{-(t-30)/100}\qquad(t>30).
  • Agora avalio em t=100\\ \mathrm{s}. Note que t-30=70\\ \mathrm{s}. Portanto
\sigma(100)=10^{7}\bigl(e^{-0{,}3}+1\bigr)\,e^{-70/100}.
  • Simplifico a expressão usando exponenciais: e^{-0{,}3}\,e^{-0{,}7}=e^{-1}. Então
\sigma(100)=10^{7}\bigl(e^{-1}+e^{-0{,}7}\bigr).
  • Cálculo numérico: e^{-1}\approx0{,}367879 e e^{-0{,}7}\approx0{,}496585. Soma \approx0{,}864464. Assim
\sigma(100)\approx10^{7}\times0{,}864464\approx8{,}64464\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\approx8{,}64\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

(a) \sigma(100\\ \mathrm{s})=10^{7}e^{-1}\\ \mathrm{Pa}\approx3{,}68\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}
(b) \sigma(100\\ \mathrm{s})=10^{7}\bigl(e^{-1}+e^{-0{,}7}\bigr)\\ \mathrm{Pa}\approx8{,}64\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}

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