Considere um polímero que tem o seu comportamento viscoelástico linear em fluência descrito pela seguinte equação: \mathbf{D}(\mathbf{t})=\frac{\sqrt{\mathbf{t}}}{2} \mathrm{GPa}^{-1}, onde t é o tempo em horas. Um corpo de prova desse polímero foi solicitado em tração com o seguintes programas de tensão:
No tempo \mathbf{t}=\mathbf{0} o material foi submetido a uma tensão constante de \mathbf{1 0 ~ M P a} por um período de \mathbf{1 0 0 ~ h}. Qual é a deformação em t =\mathbf{5 0 ~ h} ?

Passo 1

O enunciado dá a função de fluência (compliance) do polímero e pede a deformação às t=50\\ \mathrm{h} quando foi aplicada uma tensão constante. Dados que vamos usar:
D(t)=\frac{\sqrt{t}}{2}\\ \mathrm{GPa}^{-1}
tensão aplicada (passo em t=0):
\sigma_0=10\\ \mathrm{MPa}
o carregamento se mantém por 100\\ \mathrm{h}, e queremos a deformação em
t=50\\ \mathrm{h}.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): para um material linearmente viscoelástico sujeito a um degrau de tensão (stress step) aplicado em t=0, a fluência D(t) é definida por
D(t)=\frac{\varepsilon(t)}{\sigma_0},
onde \varepsilon(t) é a deformação no tempo t e \sigma_0 é a tensão constante aplicada. Portanto, a relação direta que usamos é
\varepsilon(t)=\sigma_0\,D(t).
Isto vem da definição de fluência: ela mede quanto a amostra deforma por unidade de tensão aplicada quando o carregamento é um passo constante. Como o comportamento é linear, basta multiplicar a tensão pela fluência para obter a deformação.

Passo 3

Primeiro convertemos unidades para ficarem compatíveis: D(t) está em \mathrm{GPa}^{-1} e \sigma_0 está em \mathrm{MPa}. Sabendo que 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{MPa}, temos
\sigma_0=10\\ \mathrm{MPa}=\frac{10}{1000}\\ \mathrm{GPa}=0,01\\ \mathrm{GPa}.

Passo 4

Calculemos a fluência no tempo pedido. Usando a expressão dada:
D(50)=\frac{\sqrt{50}}{2}\\ \mathrm{GPa}^{-1}.
Podemos simplificar \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}, então
D(50)=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{GPa}^{-1}.
Numericamente, \sqrt{2}\approx 1,41421356, logo
D(50)\approx\frac{5\cdot 1,41421356}{2}=3,535533906\\ \mathrm{GPa}^{-1}.

Passo 5

Agora calculamos a deformação pela relação \varepsilon(50)=\sigma_0 D(50). Substituindo \sigma_0=0,01\\ \mathrm{GPa} e D(50)\approx 3,535533906\\ \mathrm{GPa}^{-1},
\varepsilon(50)=0,01\times 3,535533906 \approx 0,03535533906.
Portanto a deformação é aproximadamente 0,0353553 (adimensional).

Passo 6

Interpretação prática: para dar em porcentagem, multiplicamos por 100\%:
\varepsilon(50)\approx 0,0353553\times 100\% \approx 3,53553\%.
Arredondando de forma razoável para quatro algarismos significativos obtemos 0,03536 (ou 3,536\%).

Resposta

\varepsilon(50\\ \mathrm{h})=0,03536
=3,536\%

Exercícios relacionados