1. Considere o polinômio Q(x)=2 x^{4}-3 x^{3}-3 x^{2}+6 x-2.
    a) Aplique a Regra de Sinais de Descartes.
    b) Determine o número de raízes reais no intervalo [-2,2] usando o Teorema de Sturm.
    c) Use Briot-Ruffini e Newton-Raphson para encontrar uma raiz do polinômio, partindo de x_{0}=1.5.

Passo 1

O enunciado trata do polinômio
Q(x)=2x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+6x-2
e pede três coisas: aplicar a Regra de Sinais de Descartes para estimar quantas raízes positivas e negativas ele pode ter; usar o Teorema de Sturm para contar exatamente as raízes reais no intervalo [-2,2]; e, por fim, empregar Briot–Ruffini (Horner) junto com o método de Newton–Raphson, começando em x_{0}=1{,}5, para aproximar uma raiz.

Passo 2

Para aplicar a Regra de Descartes contamos as trocas de sinal nos coeficientes de Q(x) e de Q(-x).
Os coeficientes de Q(x) são +2,\,-3,\,-3,\,+6,\,-2. As trocas são +2\to-3 (1), -3\to-3 (0), -3\to+6 (1), +6\to-2 (1), totalizando 3 trocas. Logo há 3 ou 1 raiz positiva.
Para Q(-x)=2x^{4}+3x^{3}-3x^{2}-6x-2 os coeficientes são +2,+3,-3,-6,-2, com apenas uma troca +3\to-3. Portanto há exatamente 1 raiz negativa.

Passo 3

Construímos a sequência de Sturm:
P_{0}(x)=Q(x), \quad P_{1}(x)=Q'(x)=8x^{3}-9x^{2}-6x+6.
Em seguida calculamos os restos da divisão de polinômios e definimos
P_{2}(x)=-\operatorname{rem}(P_{0},P_{1}), \quad P_{3}(x)=-\operatorname{rem}(P_{1},P_{2}),
até chegar a um polinômio de grau zero. Para nosso caso obtém-se, após simplificação,
P_{2}(x)=\frac{75}{32}x^{2}-\frac{63}{16}x+\frac{23}{16}, \quad P_{3}(x)=\frac{6464}{1875}x-\frac{6144}{1875},
e P_{4} é uma constante positiva.

Passo 4

Avaliamos a sequência em x=-2 e em x=2 e contamos as variações de sinal:
Em x=2:
P_{0}(2)=6>0,\;P_{1}(2)=22>0,\;P_{2}(2)\approx2{,}94>0,\;P_{3}(2)>0,\;P_{4}>0
nenhuma variação, V(2)=0.
Em x=-2:
P_{0}(-2)=30>0,\;P_{1}(-2)=-82<0,\;P_{2}(-2)\approx18{,}69>0,\;P_{3}(-2)<0,\;P_{4}>0
quatro variações, V(-2)=4.
Pelo Teorema de Sturm o número de raízes reais em (-2,2] é V(-2)-V(2)=4.

Passo 5

Para aplicar Newton–Raphson usamos Horner (Briot–Ruffini) em x_{0}=1{,}5 para obter f(1{,}5) e f'(1{,}5). Tabela de Horner para Q:
coeficientes 2,\,-3,\,-3,\,6,\,-2 e nó 1{,}5 dão resto
Q(1{,}5)=0{,}25,
e a derivada avaliada diretamente é
Q'(1{,}5)=3{,}75.
Logo
x_{1}=x_{0}-\frac{Q(1{,}5)}{Q'(1{,}5)} =1{,}5-\frac{0{,}25}{3{,}75} =1{,}43333\ldots.

Passo 6

Repetindo o mesmo processo em x_{1}\approx1{,}43333, obtemos
Q(1{,}43333)\approx0{,}043695, \quad Q'(1{,}43333)\approx2{,}43896,
e daí
x_{2} =1{,}43333-\frac{0{,}043695}{2{,}43896} \approx1{,}41541.
Em duas iterações já chegamos perto de 1{,}4142, que é uma raiz de Q.

Resposta

a) Em Q(x) há 3 ou 1 raízes positivas e exatamente 1 negativa.
b) Pelo Teorema de Sturm, Q tem 4 raízes reais em [-2,2].
c) Pelo método de Newton–Raphson (com Horner), a partir de x_{0}=1{,}5 obtemos após duas iterações x_{2}\approx1{,}41541, já próximo de uma raiz de Q.

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