- Considere o polinômio
.
a) Aplique a Regra de Sinais de Descartes.
b) Determine o número de raízes reais no intervalo
usando o Teorema de Sturm.
c) Use Briot-Ruffini e Newton-Raphson para encontrar uma raiz do polinômio, partindo de
.
a) Aplique a Regra de Sinais de Descartes.
b) Determine o número de raízes reais no intervalo
c) Use Briot-Ruffini e Newton-Raphson para encontrar uma raiz do polinômio, partindo de
Passo 1
O enunciado trata do polinômio
e pede três coisas: aplicar a Regra de Sinais de Descartes para estimar quantas raízes positivas e negativas ele pode ter; usar o Teorema de Sturm para contar exatamente as raízes reais no intervalo
; e, por fim, empregar Briot–Ruffini (Horner) junto com o método de Newton–Raphson, começando em
, para aproximar uma raiz.
Passo 2
Para aplicar a Regra de Descartes contamos as trocas de sinal nos coeficientes de
e de
.
Os coeficientes de são
. As trocas são
(1),
(0),
(1),
(1), totalizando 3 trocas. Logo há 3 ou 1 raiz positiva.
Para os coeficientes são
, com apenas uma troca
. Portanto há exatamente 1 raiz negativa.
Os coeficientes de
Para
Passo 3
Construímos a sequência de Sturm:
Em seguida calculamos os restos da divisão de polinômios e definimos
até chegar a um polinômio de grau zero. Para nosso caso obtém-se, após simplificação,
e
é uma constante positiva.
Passo 4
Avaliamos a sequência em
e em
e contamos as variações de sinal:
Em :
Em
nenhuma variação,
.
Em :
Em
quatro variações,
.
Pelo Teorema de Sturm o número de raízes reais em é
.
Pelo Teorema de Sturm o número de raízes reais em
Passo 5
Para aplicar Newton–Raphson usamos Horner (Briot–Ruffini) em
para obter
e
. Tabela de Horner para
:
coeficientes e nó
dão resto
coeficientes
e a derivada avaliada diretamente é
Logo
Passo 6
Repetindo o mesmo processo em
, obtemos
e daí
Em duas iterações já chegamos perto de
, que é uma raiz de
.
Resposta
a) Em
há 3 ou 1 raízes positivas e exatamente 1 negativa.
b) Pelo Teorema de Sturm, tem 4 raízes reais em
.
c) Pelo método de Newton–Raphson (com Horner), a partir de obtemos após duas iterações
, já próximo de uma raiz de
.
b) Pelo Teorema de Sturm,
c) Pelo método de Newton–Raphson (com Horner), a partir de