- Para o polinômio
:
a) Use a Regra de Sinais de Descartes para determinar o número máximo de raízes reais positivas e negativas.
b) Construa a sequência de Sturm e determine o número exato de raízes reais no intervalo
.
c) Sabendo que existe uma raiz próxima de
, utilize Briot-Ruffini para calcular
e
, e então execute uma iteração de Newton-Raphson.
a) Use a Regra de Sinais de Descartes para determinar o número máximo de raízes reais positivas e negativas.
b) Construa a sequência de Sturm e determine o número exato de raízes reais no intervalo
c) Sabendo que existe uma raiz próxima de
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede três coisas:
a) usar a Regra de Sinais de Descartes para achar o número máximo de raízes reais positivas e negativas;
b) construir a sequência de Sturm para e determinar quantas raízes reais existem em
;
c) sabendo que há uma raiz próxima de , calcular
e
por Briot-Ruffini e fazer uma iteração de Newton-Raphson.
a) usar a Regra de Sinais de Descartes para achar o número máximo de raízes reais positivas e negativas;
b) construir a sequência de Sturm para
c) sabendo que há uma raiz próxima de
Passo 2
Aplicando a Regra de Sinais de Descartes:
Para as oscilações de sinal na sequência de coeficientes
são
(1),
(2),
(3), logo no máximo 3 raízes reais positivas ou reduzem-se de dois em dois, isto é, podem ser 3 ou 1.
Para a sequência de sinais é
sem oscilações, logo zero raízes reais negativas.
Para
Para
Passo 3
Construímos a sequência de Sturm:
Dividindo
por
e tomando o resto com sinal trocado:
Em seguida dividimos
por
e trocamos o sinal do resto:
Como o resto na próxima divisão é zero, a sequência pára aí.
Passo 4
Contamos o número de variações de sinal em
e em
:
Em
:
há 3 oscilações de sinal.
Em
:
não há oscilações.
Pelo Teorema de Sturm, o número de raízes reais em
é
.
Passo 5
Para a iteração de Newton-Raphson em
precisamos de
e
. Usando Briot-Ruffini ou substituição direta:
A próxima aproximação é
Resposta
a) No máximo 3 raízes positivas ou 1 (reduzindo de 2 em 2) e 0 raízes negativas.
b) Exatamente 3 raízes reais no intervalo .
c) ,
e a iteração de Newton-Raphson dá
.
b) Exatamente 3 raízes reais no intervalo
c)