1. Para o polinômio P(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x-1 :
    a) Use a Regra de Sinais de Descartes para determinar o número máximo de raízes reais positivas e negativas.
    b) Construa a sequência de Sturm e determine o número exato de raízes reais no intervalo [0,5].
    c) Sabendo que existe uma raiz próxima de x=0.1, utilize Briot-Ruffini para calcular P(0.1) e P^{\prime}(0.1), e então execute uma iteração de Newton-Raphson.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio P(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-1 e pede três coisas:
a) usar a Regra de Sinais de Descartes para achar o número máximo de raízes reais positivas e negativas;
b) construir a sequência de Sturm para P e determinar quantas raízes reais existem em [0,5];
c) sabendo que há uma raiz próxima de x=0,1, calcular P(0,1) e P'(0,1) por Briot-Ruffini e fazer uma iteração de Newton-Raphson.

Passo 2

Aplicando a Regra de Sinais de Descartes:
Para P(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-1 as oscilações de sinal na sequência de coeficientes +,-,+,- são
+\to- (1), -\to+ (2), +\to- (3), logo no máximo 3 raízes reais positivas ou reduzem-se de dois em dois, isto é, podem ser 3 ou 1.
Para P(-x)= -x^{3}-6x^{2}-9x-1 a sequência de sinais é -,-,-,- sem oscilações, logo zero raízes reais negativas.

Passo 3

Construímos a sequência de Sturm:
P_{0}(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-1,
P_{1}(x)=P_{0}'(x)=3x^{2}-12x+9,
Dividindo P_{0} por P_{1} e tomando o resto com sinal trocado:
P_{2}(x)=2x-5.
Em seguida dividimos P_{1} por P_{2} e trocamos o sinal do resto:
P_{3}(x)=2{,}25.
Como o resto na próxima divisão é zero, a sequência pára aí.

Passo 4

Contamos o número de variações de sinal em x=0 e em x=5:
Em x=0:
P_{0}(0)=-1\;(–),\; P_{1}(0)=9\;(+),\; P_{2}(0)=-5\;(–),\; P_{3}(0)=2{,}25\;(+),
há 3 oscilações de sinal.
Em x=5:
P_{0}(5)=125-150+45-1=19\;(+),\; P_{1}(5)=75-60+9=24\;(+),\; P_{2}(5)=2\cdot5-5=5\;(+),\; P_{3}(5)=2{,}25\;(+),
não há oscilações.
Pelo Teorema de Sturm, o número de raízes reais em (0,5] é 3-0=3.

Passo 5

Para a iteração de Newton-Raphson em x_{0}=0{,}1 precisamos de P(0{,}1) e P'(0{,}1). Usando Briot-Ruffini ou substituição direta:
P(0{,}1)=0{,}1^{3}-6\cdot0{,}1^{2}+9\cdot0{,}1-1 =0{,}001-0{,}06+0{,}9-1=-0{,}159,
P'(0{,}1)=3\cdot0{,}1^{2}-12\cdot0{,}1+9 =0{,}03-1{,}2+9=7{,}83.
A próxima aproximação é
x_{1} = x_{0}-\frac{P(0{,}1)}{P'(0{,}1)} =0{,}1 - \frac{-0{,}159}{7{,}83} \approx 0{,}1203.

Resposta

a) No máximo 3 raízes positivas ou 1 (reduzindo de 2 em 2) e 0 raízes negativas.
b) Exatamente 3 raízes reais no intervalo [0,5].
c) P(0{,}1)=-0{,}159, P'(0{,}1)=7{,}83 e a iteração de Newton-Raphson dá x_{1}\approx0{,}1203.

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