Considere o polinômio do 2 . ° grau a*x^2 + b*x + c e suponha Delta < 0. Utilizando o item (a) do Exercício 8, prove:
b) se a < 0, então a x^2 + b x + c < 0 para todo x.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão fala sobre um polinômio de segundo grau da forma e nos diz que o discriminante é menor que zero. Nosso objetivo é provar que, se o coeficiente for negativo ( ), então o valor de será sempre menor que zero para qualquer valor de . Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e o que significa o discriminante negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o discriminante de uma função quadrática. Ele é calculado pela fórmula:
Quando , isso nos diz que a equação quadrática não tem raízes reais, ou seja, o gráfico da função não corta o eixo .

Passo 3

Agora, vamos pensar no formato do gráfico de uma função quadrática . O coeficiente determina se a parábola está voltada para cima ( ) ou para baixo ( ).

Passo 4

Como sabemos que , isso significa que a parábola não intersecta o eixo . Portanto, toda a curva fica totalmente acima ou totalmente abaixo do eixo , dependendo do sinal de .

Passo 5

No nosso caso, o enunciado diz que . Então, a parábola está voltada para baixo. Como não há interseção com o eixo , isso implica que todos os valores de serão menores que zero para qualquer .

Resposta

Portanto, se e , então para todo .

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