Considere o polinômio do 2 .
grau
e suponha
. Utilizando o item (a) do Exercício 8, prove:
b) se
, então
para todo
.
b) se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão fala sobre um polinômio de segundo grau da forma
e nos diz que o discriminante
é menor que zero. Nosso objetivo é provar que, se o coeficiente
for negativo (
), então o valor de
será sempre menor que zero para qualquer valor de
. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e o que significa o discriminante negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o discriminante
de uma função quadrática. Ele é calculado pela fórmula:
Quando
, isso nos diz que a equação quadrática não tem raízes reais, ou seja, o gráfico da função não corta o eixo
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no formato do gráfico de uma função quadrática
. O coeficiente
determina se a parábola está voltada para cima (
) ou para baixo (
).
Passo 4
Como sabemos que
, isso significa que a parábola não intersecta o eixo
. Portanto, toda a curva fica totalmente acima ou totalmente abaixo do eixo
, dependendo do sinal de
.
Passo 5
No nosso caso, o enunciado diz que
. Então, a parábola está voltada para baixo. Como não há interseção com o eixo
, isso implica que todos os valores de
serão menores que zero para qualquer
.
Resposta
Portanto, se
e
, então
para todo
.