Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
y'' - 2y' + y = x^(-2) * e^x Resposta: y_p = -e^x(1 + ln x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Primeiro, vamos lembrar que o método de variação de parâmetros é usado quando já conhecemos a solução geral da equação homogênea associada e queremos encontrar uma solução específica para a equação completa. Para isso, vamos precisar:
  • Resolver a equação homogênea associada.
  • Calcular o Wronskiano das soluções da homogênea.
  • Aplicar a fórmula de variação de parâmetros para encontrar a solução particular.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Para resolver isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação de segundo grau, temos:
Então, temos uma raiz dupla . Isso significa que as soluções da homogênea são:
Então, a solução geral da homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da equação completa:
A fórmula para é:
Onde:
  • (o lado direito da EDO)
  • é o Wronskiano das soluções e

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o Wronskiano :
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 5

Agora que temos , vamos substituir na fórmula de :
Simplificando os termos dentro das integrais:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Vamos resolver as integrais:
  1. (mas como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante)
Substituindo de volta:

Resposta

A solução particular da EDO é:

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