Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Primeiro, vamos lembrar que o método de variação de parâmetros é usado quando já conhecemos a solução geral da equação homogênea associada e queremos encontrar uma solução específica para a equação completa. Para isso, vamos precisar:
- Resolver a equação homogênea associada.
- Calcular o Wronskiano das soluções da homogênea.
- Aplicar a fórmula de variação de parâmetros para encontrar a solução particular.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Para resolver isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação de segundo grau, temos:
Então, temos uma raiz dupla
. Isso significa que as soluções da homogênea são:
Então, a solução geral da homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular
da equação completa:
A fórmula para
é:
Onde:
-
(o lado direito da EDO) -
é o Wronskiano das soluções e
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o Wronskiano
:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
Agora que temos
, vamos substituir na fórmula de
:
Simplificando os termos dentro das integrais:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Vamos resolver as integrais:
-
(mas como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante) -
Substituindo de volta:
Resposta
A solução particular da EDO é: