Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
Resposta:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem:
O objetivo é encontrar uma solução particular dessa equação usando o método de variação de parâmetros. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e o método de variação de parâmetros, que nos ajuda a encontrar soluções particulares quando temos uma equação não homogênea.
Passo 2
O primeiro passo no método de variação de parâmetros é encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Vamos resolver essa equação característica para encontrar as soluções da homogênea.
Passo 3
Escrevemos a equação característica substituindo
:
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de
.
Passo 4
Notamos que
é uma raiz da equação característica, pois substituindo:
Portanto,
é uma raiz. Podemos fatorar
da equação cúbica:
Passo 5
O polinômio quadrático
pode ser fatorado como
. Portanto, todas as três raízes são iguais a
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, para encontrar a solução particular
da equação original, usamos o método de variação de parâmetros. Como a parte não homogênea é
e
já é uma solução da homogênea com multiplicidade 3, precisamos multiplicar por
para garantir linearidade. Assim, assumimos:
Onde
é uma função a ser determinada.
Passo 7
Derivamos
em relação a
e substituímos na equação diferencial original para resolver para
. Após realizar os cálculos (que envolvem derivadas de
e substituir na EDO), encontramos que:
Passo 8
Substituindo
na expressão de
, temos a solução particular:
Resposta
A solução particular da EDO dada pelo método de variação de parâmetros é: