Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
y^{(3)} + 3y'' + 3y' + y = e^{-x} Resposta: y_p = (1/6) x^3 e^(-x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem:
O objetivo é encontrar uma solução particular dessa equação usando o método de variação de parâmetros. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e o método de variação de parâmetros, que nos ajuda a encontrar soluções particulares quando temos uma equação não homogênea.

Passo 2

O primeiro passo no método de variação de parâmetros é encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Vamos resolver essa equação característica para encontrar as soluções da homogênea.

Passo 3

Escrevemos a equação característica substituindo :
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de .

Passo 4

Notamos que é uma raiz da equação característica, pois substituindo:
Portanto, é uma raiz. Podemos fatorar da equação cúbica:

Passo 5

O polinômio quadrático pode ser fatorado como . Portanto, todas as três raízes são iguais a . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, para encontrar a solução particular da equação original, usamos o método de variação de parâmetros. Como a parte não homogênea é e já é uma solução da homogênea com multiplicidade 3, precisamos multiplicar por para garantir linearidade. Assim, assumimos:
Onde é uma função a ser determinada.

Passo 7

Derivamos em relação a e substituímos na equação diferencial original para resolver para . Após realizar os cálculos (que envolvem derivadas de e substituir na EDO), encontramos que:

Passo 8

Substituindo na expressão de , temos a solução particular:

Resposta

A solução particular da EDO dada pelo método de variação de parâmetros é:

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