- Considere o polinômio
, onde
e
são números quaisquer. Calcule uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá um polinômio linear e pede uma antiderivada.
- Dado:
, onde e são números quaisquer (constantes). - Pedido: encontrar uma função
tal que para todo .
Observação: a solução geral deincluirá uma constante arbitrária (constante de integração).
Passo 2
O que significa "achar
tal que
"?
- Uma função
com derivada igual a chama-se antiderivada ou primitiva de . - Se
for uma primitiva de , então todas as primitivas têm a forma , onde é uma constante real arbitrária (isso decorre de que a derivada de uma constante é zero).
Passo 3
Relembrando a regra básica de integração (regra do poder):
- Para qualquer número real
,
- Regra do fator constante: se
é constante então
- Integração de uma constante: para constante
,
porque a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicar essas regras termo a termo ao polinômio
. Primeiro, integrar o termo
. Usando a regra do fator constante com
e a regra do poder com
:
Passo 5
Agora integrar o termo constante
. Usando a integração de constante:
Passo 6
Somando as primitivas dos termos e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral
:
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 7
Checagem (derivando
para confirmar): derivando termo a termo,
ou seja,
, como pedido.
Passo 8
Exemplo numérico para fixar a ideia (opcional, só para praticar): se
e
, então uma primitiva é
Derivando:
, que é exatamente
no exemplo.