1. Considere o polinômio p(x)=a x+b, onde a e b são números quaisquer. Calcule uma função F tal que F^{\prime}(x)=p(x).

Passo 1

O enunciado dá um polinômio linear e pede uma antiderivada.
  • Dado: p(x)=a x+b, onde a e b são números quaisquer (constantes).
  • Pedido: encontrar uma função F tal que F'(x)=p(x) para todo x.
    Observação: a solução geral de F'(x)=p(x) incluirá uma constante arbitrária (constante de integração).

Passo 2

O que significa "achar F tal que F'=p"?
  • Uma função F com derivada igual a p chama-se antiderivada ou primitiva de p.
  • Se G for uma primitiva de p, então todas as primitivas têm a forma G+C, onde C é uma constante real arbitrária (isso decorre de que a derivada de uma constante é zero).

Passo 3

Relembrando a regra básica de integração (regra do poder):
  • Para qualquer número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • Regra do fator constante: se k é constante então
\int k\cdot f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx.
  • Integração de uma constante: para constante k,
\int k\,dx = kx + C,
porque a derivada de kx é k.

Passo 4

Aplicar essas regras termo a termo ao polinômio p(x)=a x+b. Primeiro, integrar o termo a x. Usando a regra do fator constante com k=a e a regra do poder com n=1:
\int a x\,dx = a\int x\,dx = a\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{a x^{2}}{2}.

Passo 5

Agora integrar o termo constante b. Usando a integração de constante:
\int b\,dx = b x.

Passo 6

Somando as primitivas dos termos e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral F:
F(x)=\frac{a x^{2}}{2}+b x + C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 7

Checagem (derivando F para confirmar): derivando termo a termo,
F'(x)=\frac{a\cdot 2x}{2}+b = a x + b,
ou seja, F'(x)=p(x), como pedido.

Passo 8

Exemplo numérico para fixar a ideia (opcional, só para praticar): se a=3 e b=-2, então uma primitiva é
F(x)=\frac{3x^{2}}{2}-2x+C.
Derivando: F'(x)=3x-2, que é exatamente p(x) no exemplo.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{a x^{2}}{2}+b x + C, onde C é uma constante real.

Exercícios relacionados