- Uma função
é chamada de primitiva de outra função
se para todo valor de
tivermos que a derivada de
no valor
é igual a
, ou seja:
Por exemplo: o polinômio
é uma primitiva do polinômio
, pois ao derivarmos
, obtemos
; da mesma forma,
é uma primitiva de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a definição do que é uma primitiva (antiderivada) e dois exemplos:
- Definição: uma função
é primitiva de se vale
- Exemplos dados:
-
é primitiva de . -
é primitiva de .
-
O enunciado não traz uma pergunta explícita, então o objetivo que vou seguir é:
- Explicar passo a passo o que significa primitiva e por que os exemplos estão corretos.
- Apresentar as regras básicas para encontrar primitivas (fórmulas e propriedades) de forma que você consiga resolver exercícios semelhantes na prova.
- Mostrar alguns exemplos resolvidos passo a passo, incluindo os exemplos do enunciado e variações com a constante de integração.
Passo 2
Entendendo a definição na prática (ideia inversa da derivada).
Quando dizemos que
é primitiva de
, estamos invertendo o processo da derivada: derivada de
dá
. A derivada é uma operação que transforma
em
; a primitiva é a operação inversa que transforma
em
.
Um ponto importante: se é primitiva de
, então qualquer função da forma
, com
constante, também é primitiva de
, porque a derivada de uma constante é zero. Assim, as primitivas são determinadas “até uma constante”. Em símbolos:
Um ponto importante: se
Exemplo direto com o enunciado:
- Derivando
usando a regra do poder ( ), obtemos
logo
é primitiva de
. Mas também
é primitiva de
.
- Derivando
:
logo
é primitiva de
. Novamente,
também é primitiva.
Passo 3
Regra básica: a regra do poder invertida (fórmula principal para polinômios).
Para
vale a fórmula da primitiva (integral indefinida) de uma potência:
Explicação/justificativa curta: diferenciar
dá
portanto a expressão acima é mesmo uma primitiva de
. O
é a constante de integração que mencionamos antes.
Aplicação imediata aos exemplos:
- Para
note que . Aplicando a linearidade e a fórmula: Isso mostra por que (ou ) é primitiva de . - Para
: Assim (ou ) é primitiva de . No enunciado deram , que é apenas uma escolha de .
Passo 4
Propriedades úteis que você deve decorar e aplicar na prova (com justificativa intuitiva).
- Linearidade: para constantes
e funções ,
Justificativa: derivada é linear, então a operação inversa também permite separar termos e constantes.
- Constante: para constante
,
porque
.
- Caso especial
: para a fórmula do passo 3 não vale. O resultado é
Justificativa:
para
.
Passo 5
Integração de polinômios (processo prático passo a passo).
Para integrar um polinômio, aplique termo a termo usando a regra do poder e a linearidade. Exemplo genérico:
Exemplo concreto e guiado:
Integrar .
Integrar
- Integre termo a termo:
- Somando e colocando
:
Passo 6
Regra da cadeia inversa (substituição simples, “reverse chain rule”).
Se você tem uma composição do tipo
e a derivada interna aparece multiplicando, a primitiva é direta. Exemplo geral:
Se , então
Se
Caso prático: integrar
.
- Note que
. Então
Se o fator
não aparece explícito, às vezes é preciso ajustar (dividir e multiplicar por constantes).
Passo 7
Exemplos adicionais resolvidos (para fixar o método).
- Integrar
.
- Aplicando regra do poder:
- Integrar
.
- Termo a termo:
- Integrar
.
- Caso especial:
Passo 8
Dicas práticas para a prova (como raciocinar rápido e evitar erros).
- Sempre coloque o
no final: é obrigatório para primitivas. - Se der uma função polinomial, use a regra do poder termo a termo; reescreva coeficientes e potências com calma.
- Para funções do tipo
, procure o derivado de . Se aparecer multiplicando, aplique a regra da cadeia inversa; se faltar, ajuste por uma constante. - Lembre-se do caso
que vira . - Treine reconhecimento de padrões: muitos exercícios de prova são combinações de potências, constantes e multiplicadores.