1. Uma função F(x) é chamada de primitiva de outra função f(x) se para todo valor de x tivermos que a derivada de F no valor x é igual a f(x), ou seja:
F^{\prime}(x)=f(x), \forall x
Por exemplo: o polinômio P(x)=x^{2} é uma primitiva do polinômio p(x)=2 x, pois ao derivarmos P(x), obtemos p(x); da mesma forma, Q(x)=x^{3}+1 é uma primitiva de q(x)=3 x^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a definição do que é uma primitiva (antiderivada) e dois exemplos:
  • Definição: uma função F(x) é primitiva de f(x) se vale
F'(x)=f(x),\\ \forall x.
  • Exemplos dados:
    • P(x)=x^{2} é primitiva de p(x)=2x.
    • Q(x)=x^{3}+1 é primitiva de q(x)=3x^{2}.
O enunciado não traz uma pergunta explícita, então o objetivo que vou seguir é:
  • Explicar passo a passo o que significa primitiva e por que os exemplos estão corretos.
  • Apresentar as regras básicas para encontrar primitivas (fórmulas e propriedades) de forma que você consiga resolver exercícios semelhantes na prova.
  • Mostrar alguns exemplos resolvidos passo a passo, incluindo os exemplos do enunciado e variações com a constante de integração.

Passo 2

Entendendo a definição na prática (ideia inversa da derivada).
Quando dizemos que F é primitiva de f, estamos invertendo o processo da derivada: derivada de F f. A derivada é uma operação que transforma F em f; a primitiva é a operação inversa que transforma f em F.
Um ponto importante: se F é primitiva de f, então qualquer função da forma F(x)+C, com C constante, também é primitiva de f, porque a derivada de uma constante é zero. Assim, as primitivas são determinadas “até uma constante”. Em símbolos:
\text{Se } F'(x)=f(x), \text{ então } \big(F(x)+C\big)'=F'(x)+0=f(x).ã
Exemplo direto com o enunciado:
  • Derivando P(x)=x^{2} usando a regra do poder ( \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}), obtemos
P'(x)=\dfrac{d}{dx}x^{2}=2x,
logo P é primitiva de p(x)=2x. Mas também x^{2}+C é primitiva de 2x.
  • Derivando Q(x)=x^{3}+1:
Q'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(x^{3}+1\big)=3x^{2}+0=3x^{2},
logo Q é primitiva de q(x)=3x^{2}. Novamente, x^{3}+1+C também é primitiva.

Passo 3

Regra básica: a regra do poder invertida (fórmula principal para polinômios).
Para n\neq -1 vale a fórmula da primitiva (integral indefinida) de uma potência:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação/justificativa curta: diferenciar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n},
portanto a expressão acima é mesmo uma primitiva de x^{n}. O +C é a constante de integração que mencionamos antes.
Aplicação imediata aos exemplos:
  • Para p(x)=2x note que 2x=2x^{1}. Aplicando a linearidade e a fórmula: \int 2x\,dx = 2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}+C = x^{2}+C.Isso mostra por que x^{2} (ou x^{2}+C) é primitiva de 2x.
  • Para q(x)=3x^{2}: \int 3x^{2}\,dx = 3\int x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3}+C = x^{3}+C.Assim x^{3} (ou x^{3}+C) é primitiva de 3x^{2}. No enunciado deram x^{3}+1, que é apenas uma escolha de C=1.

Passo 4

Propriedades úteis que você deve decorar e aplicar na prova (com justificativa intuitiva).
  1. Linearidade: para constantes a,b e funções f,g,
\int \big(a f(x) + b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx + C.
Justificativa: derivada é linear, então a operação inversa também permite separar termos e constantes.
  1. Constante: para constante k,
\int k\,dx = kx + C,
porque \dfrac{d}{dx}(kx)=k.
  1. Caso especial n=-1: para \dfrac{1}{x}=x^{-1} a fórmula do passo 3 não vale. O resultado é
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
Justificativa: \dfrac{d}{dx}\big(\ln|x|\big)=\dfrac{1}{x} para x\neq 0.

Passo 5

Integração de polinômios (processo prático passo a passo).
Para integrar um polinômio, aplique termo a termo usando a regra do poder e a linearidade. Exemplo genérico:
\int (a_n x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0)\,dx = \sum_{k=0}^{n} a_k \frac{x^{k+1}}{k+1} + C.
Exemplo concreto e guiado:
Integrar f(x)=4x^{3}-2x+5.
  • Integre termo a termo: \int 4x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4}=x^{4},
\int -2x\,dx = -2\cdot\frac{x^{2}}{2}=-x^{2},
\int 5\,dx = 5x.
  • Somando e colocando +C: \int (4x^{3}-2x+5)\,dx = x^{4}-x^{2}+5x + C.

Passo 6

Regra da cadeia inversa (substituição simples, “reverse chain rule”).
Se você tem uma composição do tipo (ax+b)^{n} e a derivada interna aparece multiplicando, a primitiva é direta. Exemplo geral:
Se u(x)=ax+b, então
\int u(x)^{n}\,u'(x)\,dx = \frac{u(x)^{n+1}}{n+1}+C.
Caso prático: integrar f(x)= (3x+2)^{4}\cdot 3.
  • Note que u'(x)=3. Então \int 3(3x+2)^{4}\,dx = \frac{(3x+2)^{5}}{5}+C.
Se o fator u'(x) não aparece explícito, às vezes é preciso ajustar (dividir e multiplicar por constantes).

Passo 7

Exemplos adicionais resolvidos (para fixar o método).
  1. Integrar f(x)=5x^{3}.
  • Aplicando regra do poder: \int 5x^{3}\,dx = 5\cdot\frac{x^{4}}{4}+\!C=\frac{5}{4}x^{4}+C.
  1. Integrar f(x)=4x+2.
  • Termo a termo: \int (4x+2)\,dx=4\cdot\frac{x^{2}}{2}+2x+C=2x^{2}+2x+C.
  1. Integrar f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Caso especial: \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (como raciocinar rápido e evitar erros).
  • Sempre coloque o +C no final: é obrigatório para primitivas.
  • Se der uma função polinomial, use a regra do poder termo a termo; reescreva coeficientes e potências com calma.
  • Para funções do tipo (ax+b)^{n}, procure o derivado de ax+b. Se aparecer multiplicando, aplique a regra da cadeia inversa; se faltar, ajuste por uma constante.
  • Lembre-se do caso x^{-1} que vira \ln|x|.
  • Treine reconhecimento de padrões: muitos exercícios de prova são combinações de potências, constantes e multiplicadores.

Resposta

\displaystyle p(x)=2x \longrightarrow todas as primitivas são \displaystyle P(x)=x^{2}+C.\n \displaystyle q(x)=3x^{2} \longrightarrow todas as primitivas são \displaystyle Q(x)=x^{3}+C.

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