1. Se um polinômio P(x) possui derivada p(x), ou seja, P^{\prime}(x)=p(x), então:
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{P(x+\Delta x)-P(x)}{\Delta x}=p(x)
e podemos afirmar que para um \Delta x bem pequeno:
\begin{aligned} P(x+\Delta x)-P(x) & \approx p(x) \Delta x, \text { ou } \\\ P(x+\Delta x) & \approx P(x)+p(x) \Delta x \end{aligned}
Essa fórmula expressa que podemos aproximar os valores de P ao redor de x pelo valor de P(x) mais uma variação linear em \Delta x. Por exemplo, considere o polinômio P(x)=x^{4}+x^{3}. É fácil computar que P(2)=24; mas já não é tão fácil calcular quanto é P(2.1)=(2.1)^{4}+(2.1)^{3}. Todavia, se utilizarmos a fórmula da aproximação linear , temos que:
\begin{aligned} P(2.1) & =P(2+0.1) \approx P(2)+P^{\prime}(2) \times 0.1 \\\ & =24+44 \times 0.1=28.4 \end{aligned}
e o valor exato é P(2.1)=28.7.

3 Exercícios

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu (sem ainda tentar resolver nada específico, porque não há um enunciado de exercício completo aqui).
  • Foi apresentada a definição de derivada como limite:
\lim_{\Delta x \to 0}\frac{P(x+\Delta x)-P(x)}{\Delta x}=p(x).
  • Foi dada a fórmula de aproximação linear para um polinômio (ou função diferenciável) perto de x:
P(x+\Delta x)\approx P(x)+p(x)\,\Delta x,
quando \Delta x é pequeno.
  • Foi dado um exemplo concreto: P(x)=x^{4}+x^{3}.
    • Foi afirmado que P(2)=24.
    • Foi mostrado o cálculo aproximado de P(2{,}1) usando a linearização: P(2{,}1)\approx P(2)+P'(2)\times 0{,}1=24+44\times 0{,}1=28{,}4.
    • O enunciado informou também que o valor exato é P(2{,}1)=28{,}7 (apresentado de forma arredondada).
  • Após isso aparece o cabeçalho “3 Exercícios”, mas não foi fornecido nenhum enunciado de exercício específico para eu resolver.

Passo 2

Explicação didática e passo a passo sobre como usar a aproximação linear (para que, se o seu exercício for desse tipo, você saiba exatamente o que fazer na prova). Vou desenvolver tudo bem devagar, com exemplos e com a conta completa do exemplo já apresentado.
  1. O que significa a aproximação linear (intuição leve)
  • Se f é diferenciável em a, a reta tangente a f em x=a é
L(x)=f(a)+f'(a)(x-a).
  • Para x próximo de a (ou seja, para \Delta x=x-a pequeno), f(x) fica bem próxima dessa reta: f(a+\Delta x)\approx f(a)+f'(a)\Delta x.
  • Na prática de prova: em vez de calcular uma potência ou raiz complicada, você calcula f'(a) e multiplica por \Delta x — muito mais rápido.
  1. Como aplicar a técnica passo a passo (receita que vale para a prova)
  • Passo A: identifique f(x) (ou aqui P(x)) e o ponto de expansão a (um valor próximo a x onde f(a) e f'(a) são fáceis de calcular).
  • Passo B: calcule f'(x) simbolicamente; depois substitua x=a para obter f'(a).
  • Passo C: calcule \Delta x=x-a.
  • Passo D: aplique a fórmula
f(a+\Delta x)\approx f(a)+f'(a)\,\Delta x.
  • Passo E (se for pedido ou se quiser controlar erro): estime o erro usando o resto de Taylor na forma de Lagrange:
R_1=\frac{f''(\xi)}{2}(\Delta x)^2
para algum \xi entre a e a+\Delta x. Uma cota prática é tomar \max_{t\in[a,a+\Delta x]} f''(t) e usar essa máxima no lugar de f''(\xi).
  1. Aplicando ao exemplo P(x)=x^{4}+x^{3} passo a passo (tudo explicado)
  • Primeiro calcule a derivada geral:
P'(x)=4x^{3}+3x^{2}.
Explicando cada termo: a derivada de x^{4} é 4x^{3} (regra potência: se x^{n} então n x^{n-1}), e a derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Avaliando em a=2:
P(2)=2^{4}+2^{3}=16+8=24,
P'(2)=4\cdot 2^{3}+3\cdot 2^{2}=4\cdot 8+3\cdot 4=32+12=44.
  • Tomando x=2{,}1 temos \Delta x=0{,}1. Pela aproximação linear:
P(2{,}1)\approx P(2)+P'(2)\cdot 0{,}1=24+44\cdot 0{,}1=24+4{,}4=28{,}4.
Isso mostra exatamente o que o enunciado fez.
  1. Cálculo exato e comparação (para ver o erro)
  • Calcule 2{,}1^{3} e 2{,}1^{4}:
2{,}1^{2}=4{,}41,
2{,}1^{3}=2{,}1\cdot 4{,}41=9{,}261,
2{,}1^{4}=2{,}1\cdot 9{,}261=19{,}4481.
  • Assim
P(2{,}1)=2{,}1^{4}+2{,}1^{3}=19{,}4481+9{,}261=28{,}7091.
  • O erro da aproximação linear é
\text{erro}=P(2{,}1)-\text{aprox}=28{,}7091-28{,}4=0{,}3091.
  1. Estimando o erro com o resto de Taylor (cota)
  • A segunda derivada é
P''(x)=12x^{2}+6x.
  • Para \xi\in[2,2{,}1] a segunda derivada é crescente (é um polinômio positivo ali), então uma cota conveniente é usar o valor em 2{,}1:
P''(2{,}1)=12\cdot 2{,}1^{2}+6\cdot 2{,}1=12\cdot 4{,}41+12{,}6=52{,}92+12{,}6=65{,}52.
  • A cota do resto é
|R_1|\le \frac{P''(2{,}1)}{2}(\Delta x)^2=\frac{65{,}52}{2}\cdot (0{,}1)^{2}=32{,}76\cdot 0{,}01=0{,}3276.
  • Observação: o erro real 0{,}3091 está dentro dessa cota 0{,}3276, portanto a estimativa faz sentido.

Passo 3

Dicas práticas rápidas para a prova (tomando o lugar do “método de resolução”):
  • Sempre escolha a próximo de x que torne f(a) e f'(a) fáceis (tipicamente a inteiro ou potência conhecida).
  • Use aproximação linear quando |\Delta x| for pequeno (por exemplo |\Delta x|\le 0{,}2 costuma dar bons resultados para funções suaves).
  • Se a questão pede “aproxime” ou “motive que o valor está em …”, a aproximação linear frequentemente basta. Se pedirem um erro máximo, calcule f'' e use a cota do resto.
  • Para funções não polinomiais (raiz, exponencial, log), o mesmo procedimento se aplica: calcule f'(a) e siga os mesmos passos.

Passo 4

Exemplo extra rápido (prático, curtinho) para treinar sem calculadora mental:
  • Estime \sqrt{4{,}1} por linearização em a=4.
    • f(x)=\sqrt{x}, f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
    • f(4)=2, f'(4)=\dfrac{1}{4}.
    • \Delta x=0{,}1. Então
    \sqrt{4{,}1}\approx 2+\frac{1}{4}\cdot 0{,}1=2+0{,}025=2{,}025.
    • Bom exercício para a prova: treinar muitos desses até se acostumar com a mecânica.

Passo 5

Conclusão importante sobre o pedido que você fez:
  • Não há um enunciado de exercício concreto (apenas a explicação e o cabeçalho “3 Exercícios”); portanto não foi possível apresentar uma resolução passo a passo de um exercício específico pedido por você.
  • O que eu fiz foi: listei os dados que estavam no texto, expliquei didaticamente a técnica da aproximação linear, desenvolvi por completo o exemplo P(x)=x^{4}+x^{3} (com cálculo exato e cota de erro) e dei uma receita prática para aplicar a técnica na prova.

Resposta

Não há enunciado de exercício fornecido; não é possível apresentar uma resolução passo a passo de um exercício específico.

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