- Se um polinômio
possui derivada
, ou seja,
, então:
e podemos afirmar que para um
bem pequeno:
Essa fórmula expressa que podemos aproximar os valores de
ao redor de
pelo valor de
mais uma variação linear em
. Por exemplo, considere o polinômio
. É fácil computar que
; mas já não é tão fácil calcular quanto é
. Todavia, se utilizarmos a fórmula da aproximação linear , temos que:
e o valor exato é
.
3 Exercícios
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu (sem ainda tentar resolver nada específico, porque não há um enunciado de exercício completo aqui).
- Foi apresentada a definição de derivada como limite:
- Foi dada a fórmula de aproximação linear para um polinômio (ou função diferenciável) perto de
:
quando
é pequeno.
- Foi dado um exemplo concreto:
. - Foi afirmado que
. - Foi mostrado o cálculo aproximado de
usando a linearização: - O enunciado informou também que o valor exato é
(apresentado de forma arredondada).
- Foi afirmado que
- Após isso aparece o cabeçalho “3 Exercícios”, mas não foi fornecido nenhum enunciado de exercício específico para eu resolver.
Passo 2
Explicação didática e passo a passo sobre como usar a aproximação linear (para que, se o seu exercício for desse tipo, você saiba exatamente o que fazer na prova). Vou desenvolver tudo bem devagar, com exemplos e com a conta completa do exemplo já apresentado.
- O que significa a aproximação linear (intuição leve)
- Se
é diferenciável em , a reta tangente a em é
- Para
próximo de (ou seja, para pequeno), fica bem próxima dessa reta: . - Na prática de prova: em vez de calcular uma potência ou raiz complicada, você calcula
e multiplica por — muito mais rápido.
- Como aplicar a técnica passo a passo (receita que vale para a prova)
- Passo A: identifique
(ou aqui ) e o ponto de expansão (um valor próximo a onde e são fáceis de calcular). - Passo B: calcule
simbolicamente; depois substitua para obter . - Passo C: calcule
. - Passo D: aplique a fórmula
- Passo E (se for pedido ou se quiser controlar erro): estime o erro usando o resto de Taylor na forma de Lagrange:
para algum
entre
e
. Uma cota prática é tomar
e usar essa máxima no lugar de
.
- Aplicando ao exemplo
passo a passo (tudo explicado)
- Primeiro calcule a derivada geral:
Explicando cada termo: a derivada de
é
(regra potência: se
então
), e a derivada de
é
.
- Avaliando em
:
- Tomando
temos . Pela aproximação linear:
Isso mostra exatamente o que o enunciado fez.
- Cálculo exato e comparação (para ver o erro)
- Calcule
e :
- Assim
- O erro da aproximação linear é
- Estimando o erro com o resto de Taylor (cota)
- A segunda derivada é
- Para
a segunda derivada é crescente (é um polinômio positivo ali), então uma cota conveniente é usar o valor em :
- A cota do resto é
- Observação: o erro real
está dentro dessa cota , portanto a estimativa faz sentido.
Passo 3
Dicas práticas rápidas para a prova (tomando o lugar do “método de resolução”):
- Sempre escolha
próximo de que torne e fáceis (tipicamente inteiro ou potência conhecida). - Use aproximação linear quando
for pequeno (por exemplo costuma dar bons resultados para funções suaves). - Se a questão pede “aproxime” ou “motive que o valor está em …”, a aproximação linear frequentemente basta. Se pedirem um erro máximo, calcule
e use a cota do resto. - Para funções não polinomiais (raiz, exponencial, log), o mesmo procedimento se aplica: calcule
e siga os mesmos passos.
Passo 4
Exemplo extra rápido (prático, curtinho) para treinar sem calculadora mental:
- Estime
por linearização em . -
, . -
, . -
. Então
- Bom exercício para a prova: treinar muitos desses até se acostumar com a mecânica.
-
Passo 5
Conclusão importante sobre o pedido que você fez:
- Não há um enunciado de exercício concreto (apenas a explicação e o cabeçalho “3 Exercícios”); portanto não foi possível apresentar uma resolução passo a passo de um exercício específico pedido por você.
- O que eu fiz foi: listei os dados que estavam no texto, expliquei didaticamente a técnica da aproximação linear, desenvolvi por completo o exemplo
(com cálculo exato e cota de erro) e dei uma receita prática para aplicar a técnica na prova.
Resposta
Não há enunciado de exercício fornecido; não é possível apresentar uma resolução passo a passo de um exercício específico.