1. Considere o polinômio T(x)=x^{5}-x^{4}-5 x^{3}+x^{2}+8 x+4. Encontre todas as raízes racionais.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
T(x)=x^{5}-x^{4}-5x^{3}+x^{2}+8x+4
e pede todas as raízes racionais. Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais (possíveis divisores de 4 sobre divisores de 1) e depois fatorar via divisão sintética para encontrar todas as raízes.

Passo 2

Pelas possíveis raízes racionais \pm1,\pm2,\pm4, avaliamos:
Para x=1:
T(1)=1-1-5+1+8+4=8\neq0.
Para x=-1:
T(-1)=(-1)^5-(-1)^4-5(-1)^3+(-1)^2+8(-1)+4=0,
logo x=-1 é raiz.
Para x=2:
T(2)=32-16-40+4+16+4=0,
logo x=2 também é raiz racional.

Passo 3

Fatoramos T(x) por (x+1) e em seguida por (x-2) usando divisão sintética:
coeficientes de T: \;1,\,-1,\,-5,\;1,\;8,\;4.
  1. Dividindo por (x+1) (síntese com -1) obtém-se os coeficientes
    \;1,\,-2,\,-3,\;4,\;4.
  2. Sobre este resultado, dividindo por (x-2) (síntese com 2) obtemos
    \;1,\;0,\,-3,\;-2.
    Esse é o polinômio cúbico
x^3 -3x -2.

Passo 4

No cúbico f_c(x)=x^3-3x-2, as raízes racionais candidatas são ainda \pm1,\pm2. Avaliamos:
Para x=2:
f_c(2)=8-6-2=0,
portanto x=2 é raiz.
Para x=-1:
f_c(-1)=-1+3-2=0,
portanto x=-1 é raiz.
Dividindo f_c por (x-2) e por (x+1) em sequência, chegamos aos coeficientes
\;1,\;2,\;1, isto é, ao polinômio quadrático
x^2 +2x +1.

Passo 5

O quadrático x^2+2x+1 fatora-se como
x^2+2x+1=(x+1)^2.
Juntando todos os fatores, obtemos
T(x)=(x+1)\,(x-2)\,(x-2)\,(x+1)\,(x+1)=(x+1)^3\,(x-2)^2.

Resposta

As raízes racionais de T(x) são
x=-1\quad(\text{multiplicidade }3) \quad\text{e}\quad x=2\quad(\text{multiplicidade }2).

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