- Para o polinômio
, liste as possíveis raízes racionais e encontre as raízes reais.
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
e pede duas coisas: listar as possíveis raízes racionais (usando o Teorema das Raízes Racionais) e encontrar todas as raízes reais. Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais para gerar candidatos e depois fatorar
por divisões sintéticas até reduzirmos ao quadrático, que resolveremos pela fórmula de Bhaskara.
Passo 2
Pelo Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes de um polinômio de coeficientes inteiros são todos os quocientes
, onde
divide o termo constante
e
divide o coeficiente líder
. Como
, temos
Passo 3
Testando
:
logo
é fator de
. Fazendo divisão sintética de
por
(coeficientes
), obtemos o polinômio cúbico
Passo 4
Aplicando de novo o Teorema das Raízes Racionais ao cúbico
, testamos
:
logo
é fator. Dividindo sinteticamente pelos coeficientes
por
, chegamos ao quadrático
Passo 5
Para resolver
usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
portanto as raízes são
isto é,
Passo 6
Reunindo todos os fatores, o polinômio se fatoriza como
logo as raízes reais são exatamente
Resposta
Possíveis raízes racionais:
Raízes reais:
Raízes reais: