1. Para o polinômio S(x)=x^{4}-5 x^{3}+5 x^{2}+5 x-6, liste as possíveis raízes racionais e encontre as raízes reais.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
S(x)=x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6
e pede duas coisas: listar as possíveis raízes racionais (usando o Teorema das Raízes Racionais) e encontrar todas as raízes reais. Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais para gerar candidatos e depois fatorar S(x) por divisões sintéticas até reduzirmos ao quadrático, que resolveremos pela fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes de um polinômio de coeficientes inteiros são todos os quocientes \pm \tfrac{d}{c}, onde d divide o termo constante -6 e c divide o coeficiente líder 1. Como c=1, temos
\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}

Passo 3

Testando x=1:
S(1)=1-5+5+5-6=0,
logo x-1 é fator de S(x). Fazendo divisão sintética de S(x) por x-1 (coeficientes 1,\,-5,\,5,\,5,\,-6), obtemos o polinômio cúbico
x^{3}-4x^{2}+x+6.

Passo 4

Aplicando de novo o Teorema das Raízes Racionais ao cúbico x^{3}-4x^{2}+x+6, testamos x=2:
2^{3}-4\cdot2^{2}+2+6=8-16+2+6=0,
logo x-2 é fator. Dividindo sinteticamente pelos coeficientes 1,\,-4,\,1,\,6 por 2, chegamos ao quadrático
x^{2}-2x-3.

Passo 5

Para resolver
x^{2}-2x-3=0
usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16,
portanto as raízes são
x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2},
isto é,
x=3\quad\text{ou}\quad x=-1.

Passo 6

Reunindo todos os fatores, o polinômio se fatoriza como
S(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x+1),
logo as raízes reais são exatamente
\{-1,\,1,\,2,\,3\}.

Resposta

Possíveis raízes racionais: \pm1,\pm2,\pm3,\pm6
Raízes reais: -1,\,1,\,2,\,3

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