Determine A\) e \(B\) tais que \(f(x, y)= \begin{cases}\frac{\sin (x y)}{x y}, & \text { se } 0<x^{2}+y^{2} \leq 1 \\\ A+\ln \left(e^{x}+x-y\right), & \text { se }(x, y)=(0,0) \\\ \frac{A x+B y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & \text { se } x^{2}+y^{2}>1\end{cases}
seja contínua em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle\frac{\sin(xy)}{xy},&0<x^2+y^2\le1,\\[1em] A+\ln\bigl(e^x+x-y\bigr),& (x,y)=(0,0),\\[0.5em] \displaystyle\frac{Ax+By}{\sqrt{x^2+y^2}},&x^2+y^2>1, \end{cases}
e pede que ela seja contínua em \mathbb R^2. Precisamos garantir continuidade em dois “contornos”:
  1. em (0,0), ligando o ramo interior ao valor f(0,0)=A+\ln1=A;
  2. na circunferência x^2+y^2=1, ligando o ramo interior \frac{\sin(xy)}{xy} ao ramo exterior \frac{Ax+By}{1}=Ax+By.]

Passo 2

Para a continuidade em (0,0) olhamos o limite pela região 0<x^2+y^2\le1:
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy} =\lim_{z\to0}\frac{\sin z}{z} =1.
Como f(0,0)=A, devemos ter
A=1.

Passo 3

Na circunferência x^2+y^2=1 a definição pela parte “interior” (primeiro caso) dá
f_{\rm int}(x,y)=\frac{\sin(xy)}{xy},
enquanto a parte “externa” (terceiro caso) avaliada em r=1 é
f_{\rm ext}(x,y)=Ax+By \quad\bigl(\text{pois }\sqrt{x^2+y^2}=1\bigr).
Para continuidade nessas fronteiras precisamos
Ax+By \;=\;\frac{\sin(xy)}{xy} \quad\text{para todo }(x,y)\text{ com }x^2+y^2=1.
Substituindo A=1, isso exige
x+By=\frac{\sin(xy)}{xy} \quad\forall\,(x,y)\text{ tais que }x^2+y^2=1.

Passo 4

A igualdade
x+By=\frac{\sin(xy)}{xy}
deveria valer para todos os pontos da circunferência x^2+y^2=1. O lado esquerdo é uma função linear em (x,y), enquanto \sin(xy)/(xy) é não linear e varia de ponto a ponto. Não existe nenhum número real B que torne essas duas expressões idênticas em toda a circunferência.

Resposta

A única escolha viável para a continuidade em (0,0) é
A=1,
porém não existe valor de B que satisfaça a continuidade na fronteira x^2+y^2=1. Portanto, não há par (A,B)\in\mathbb R^2 que torne f contínua em todo \mathbb R^2.

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