Considere os pontos A(1,-2), B(1,3), C(1,4,-2) e D(1,-2,-3) e os vetores u=(1,4), v=(-2,-3), w=(3,4,-2) e n=(1,-1,2). Calcule o que se pede:
Calcule os ângulos entre u e v e entre w e n.

Passo 1

O enunciado pede os ângulos entre dois pares de vetores em \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar a definição de produto escalar e norma de um vetor, e a fórmula do cosseno do ângulo:
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\|\;\|b\|}.

Passo 2

Calculamos o produto escalar e as normas de u=(1,4) e v=(-2,-3).
O produto escalar é
u\cdot v = 1\cdot(-2) + 4\cdot(-3) = -2 -12 = -14.
As normas são
\|u\| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}, \qquad \|v\| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}.

Passo 3

Aplicando a fórmula do cosseno,
\cos\theta_{uv} = \frac{u\cdot v}{\|u\|\;\|v\|} = \frac{-14}{\sqrt{17}\,\sqrt{13}} = \frac{-14}{\sqrt{221}}.
Logo,
\theta_{uv} = \operatorname{arccos}\!\bigl(-14/\sqrt{221}\bigr) \approx 160{,}3^\circ.

Passo 4

Agora para w=(3,4,-2) e n=(1,-1,2) calculamos
w\cdot n = 3\cdot1 + 4\cdot(-1) + (-2)\cdot2 = 3 -4 -4 = -5,
e as normas
\|w\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{29}, \qquad \|n\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}.

Passo 5

Usando a fórmula do cosseno,
\cos\theta_{wn} = \frac{w\cdot n}{\|w\|\;\|n\|} = \frac{-5}{\sqrt{29}\,\sqrt{6}} = \frac{-5}{\sqrt{174}}.
Daí
\theta_{wn} = \operatorname{arccos}\!\bigl(-5/\sqrt{174}\bigr) \approx 112{,}3^\circ.

Resposta

\theta_{uv} = \operatorname{arccos}\!\bigl(-14/\sqrt{221}\bigr)\approx160{,}3^\circ
\theta_{wn} = \operatorname{arccos}\!\bigl(-5/\sqrt{174}\bigr)\approx112{,}3^\circ

Exercícios relacionados