Considere os pontos A(1,-2), B(1,3), C(1,4,-2) e D(1,-2,-3) e os vetores u=(1,4), v=(-2,-3), w=(3,4,-2) e n=(1,-1,2). Calcule o que se pede:
Encontre um vetor de tamanho 5 na direção de w, mas com sentido contrário.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \,w=(3,4,-2) e pede um vetor de comprimento 5 na direção de w, porém com sentido contrário. Para isso vamos usar o processo de normalização: primeiro encontramos o comprimento de w, depois obtemos o vetor unitário em sua direção, invertemos o sentido e enfim o escalamos para ter norma 5.

Passo 2

Calculamos a norma de w. Pela definição de norma em \mathbb{R}^3,
\|w\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}.

Passo 3

O vetor unitário na direção de w é
\frac{w}{\|w\|} = \Bigl(\frac{3}{\sqrt{29}},\,\frac{4}{\sqrt{29}},\,-\frac{2}{\sqrt{29}}\Bigr).
Para inverter o sentido, basta multiplicar por -1:
-\frac{w}{\|w\|} = \Bigl(-\frac{3}{\sqrt{29}},\,-\frac{4}{\sqrt{29}},\,\frac{2}{\sqrt{29}}\Bigr).

Passo 4

Por fim, escalamos esse vetor unitário invertido para que sua norma seja 5. Basta multiplicar por 5:
5\Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{29}},\,-\tfrac{4}{\sqrt{29}},\,\tfrac{2}{\sqrt{29}}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{15}{\sqrt{29}},\,-\tfrac{20}{\sqrt{29}},\,\tfrac{10}{\sqrt{29}}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \Bigl(-\frac{15}{\sqrt{29}},\,-\frac{20}{\sqrt{29}},\,\frac{10}{\sqrt{29}}\Bigr)

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