Considere os pontos A(1,-2), B(1,3), C(1,4,-2) e D(1,-2,-3) e os vetores u=(1,4), v=(-2,-3), w=(3,4,-2) e n=(1,-1,2). Calcule o que se pede:
Calcule \|4 w+3 n\|.

Passo 1

O enunciado pede a norma do vetor \;4w+3n, onde
w = (3,4,-2), \qquad n = (1,-1,2).
O conteúdo necessário é operação linear em vetores (multiplicação por escalar e soma) e cálculo de norma Euclidiana em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Calcular 4w multiplicando cada componente de w por 4:
4w = 4\,(3,4,-2) = (4\cdot3,\;4\cdot4,\;4\cdot(-2)) = (12,16,-8).

Passo 3

Calcular 3n multiplicando cada componente de n por 3:
3n = 3\,(1,-1,2) = (3\cdot1,\;3\cdot(-1),\;3\cdot2) = (3,-3,6).

Passo 4

Somar os vetores 4w e 3n para obter o vetor resultante r = 4w + 3n:
r = (12,16,-8) + (3,-3,6) = (12+3,\;16+(-3),\;-8+6) = (15,13,-2).

Passo 5

Calcular a norma Euclidiana de r = (15,13,-2) como
\|r\| = \sqrt{15^2 + 13^2 + (-2)^2} = \sqrt{225 + 169 + 4} = \sqrt{398}.

Resposta

\|\,4w + 3n\| = \sqrt{398}.

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