Questão 01. (3,5)
a) Determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que \mathrm{T}(1,0,1)=(1,2,-1,2), \mathrm{T}(1,1,-1)=(0,1,5,2) e T(1,1,1)=(0,3,-1,3).
b) Considere a transformação linear T descrita no ietm (a), verifique se o vetor ( 1,0,10,3 ) pertence à imagem de T ?
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4
tal que
T(v_1) = b_1,\quad T(v_2)=b_2,\quad T(v_3)=b_3
onde
v_1=(1,0,1),\;v_2=(1,1,-1),\;v_3=(1,1,1),
b_1=(1,2,-1,2),\;b_2=(0,1,5,2),\;b_3=(0,3,-1,3).
Como \{v_1,v_2,v_3\} é base de \mathbb{R}^3, T está totalmente determinada e podemos calcular sua matriz A encontrando T(e_i), onde e_i são os vetores da base canônica de \mathbb{R}^3.
Passo 2
Verificamos que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes calculando o determinante da matriz
Para verificar se (1,0,10,3)\) está na imagem, resolvemos
\[T(x,y,z)=(1,0,10,3).
Isto é, o sistema
\begin{cases} x - y = 1,\\\ x+y+z=0,\\\\ 2x-3z=10,\\\ \tfrac{3x+2y+z}2=3. \end{cases}
Das três primeiras equações obtém-se uma solução (x,y,z)=(\tfrac{13}8,\tfrac58,-\tfrac94)\], mas essa trinca não satisfaz a quarta. Logo não há solução que produza \((1,0,10,3).