Questão 01. (3,5)
a) Determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que \mathrm{T}(1,0,1)=(1,2,-1,2), \mathrm{T}(1,1,-1)= (0,1,5,2) e T(1,1,1)=(0,3,-1,3).
b) Considere a transformação linear T descrita no ietm (a), verifique se o vetor ( 1,0,10,3 ) pertence à imagem de T ?

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4
tal que
T(v_1) = b_1,\quad T(v_2)=b_2,\quad T(v_3)=b_3
onde
v_1=(1,0,1),\;v_2=(1,1,-1),\;v_3=(1,1,1),
b_1=(1,2,-1,2),\;b_2=(0,1,5,2),\;b_3=(0,3,-1,3).
Como \{v_1,v_2,v_3\} é base de \mathbb{R}^3, T está totalmente determinada e podemos calcular sua matriz A encontrando T(e_i), onde e_i são os vetores da base canônica de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Verificamos que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes calculando o determinante da matriz
V=\bigl[v_1\;v_2\;v_3\bigr] =\begin{pmatrix} 1&1&1\\\\ 0&1&1\\\\ 1&-1&1 \end{pmatrix}.
\det(V) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} =1\cdot2 -1\cdot(-1)+1\cdot(-1)=2+1-1=2\neq0.
Logo, \{v_1,v_2,v_3\} é base de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para achar T(e_1)\), escrevemos \[e_1=(1,0,0)=\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3
e resolvemos o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=1,\\\ \beta+\gamma=0,\\\ \alpha-\beta+\gamma=0. \end{cases}
Dessa forma obtemos \alpha=1\], \(\beta=\tfrac12, \gamma=-\tfrac12.
Pela linearidade,
T(e_1) =\alpha b_1+\beta b_2+\gamma b_3 =(1,2,-1,2)+\tfrac12(0,1,5,2)-\tfrac12(0,3,-1,3) =(1,1,2,\tfrac32).

Passo 4

Para T(e_2), escrevemos
e_2=(0,1,0)=-1\,v_1+0\,v_2+1\,v_3,
logo
T(e_2)=-1\,b_1+1\,b_3 =(-1,-2,1,-2)+(0,3,-1,3) =(-1,1,0,1).

Passo 5

Para T(e_3), escrevemos
e_3=(0,0,1)=0\,v_1-\tfrac12v_2+\tfrac12v_3,
logo
T(e_3) =-\tfrac12b_2+\tfrac12b_3 =-\tfrac12(0,1,5,2)+\tfrac12(0,3,-1,3) =(0,1,-3,\tfrac12).

Passo 6

Agora a matriz A de T na base canônica tem colunas T(e_1),T(e_2),T(e_3). Assim, para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & -3\\\ \tfrac32 & 1 & \tfrac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \Bigl(x - y,\;x + y + z,\;2x - 3z,\;\tfrac{3x+2y+z}2\Bigr).

Passo 7

Para verificar se (1,0,10,3)\) está na imagem, resolvemos \[T(x,y,z)=(1,0,10,3).
Isto é, o sistema
\begin{cases} x - y = 1,\\\ x+y+z=0,\\\\ 2x-3z=10,\\\ \tfrac{3x+2y+z}2=3. \end{cases}
Das três primeiras equações obtém-se uma solução (x,y,z)=(\tfrac{13}8,\tfrac58,-\tfrac94)\], mas essa trinca não satisfaz a quarta. Logo não há solução que produza \((1,0,10,3).

Resposta

(a) Para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z)=\Bigl(x-y,\;x+y+z,\;2x-3z,\;\tfrac{3x+2y+z}{2}\Bigr).
(b) O vetor (1,0,10,3) não pertence à imagem de T.

Exercícios relacionados