Questão 02. Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \underbrace{P_{2}(\mathbb{R})} dada por T(x, y, z)=(x+y) t^{2}+(x+y+z) t+z.
a) (1,5) Determine uma base e a dimensão do núcleo de T.
b) (1,5) Determine uma base e a dimensáo da imagem de T.
c) (0,5) Té bijetora?
Como t^{2}+t e t+1 são linearmente independentes em P_{2}(\mathbb{R}), obtemos \dim\Im(T)=2 e uma base é \{\,t^{2}+t,\;t+1\}.
Passo 4
O Teorema da Dimensão diz \dim\ker(T)+\dim\Im(T)=3. Aqui \dim\ker(T)=1 e \dim\Im(T)=2. Como \ker(T)\neq\{0\}, T não é injetora, e como \dim\Im(T)=2<3=\dim P_{2}(\mathbb{R}), T não é sobrejetora. Logo T não é bijetora.
Resposta
a) \ker(T)=\span\{(1,-1,0)\}, \dim\ker(T)=1.
b) \Im(T)=\span\{\,t^{2}+t,\;t+1\}, \dim\Im(T)=2.
c) T não é bijetora.