Questão 02. Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \underbrace{P_{2}(\mathbb{R})} dada por T(x, y, z)=(x+y) t^{2}+ (x+y+z) t+z.
a) (1,5) Determine uma base e a dimensão do núcleo de T.
b) (1,5) Determine uma base e a dimensáo da imagem de T.
c) (0,5) Té bijetora?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to P_{2}(\mathbb{R}),\qquad T(x,y,z)=(x+y)\,t^{2}+(x+y+z)\,t+z.
Vamos usar teoria de núcleo (kernel) e imagem (range), em particular o Teorema da Dimensão (rank-nullity) para caracterizar esses subespaços.

Passo 2

Para achar o núcleo de T, exigimos T(x,y,z)=0, isto é, o polinômio nulo. Igualando coeficientes em
(x+y)\,t^{2}+(x+y+z)\,t+z=0
vemos as equações
\;x+y=0,\;\;x+y+z=0,\;\;z=0.
Da terceira segue z=0. Então x+y=0 implica y=-x, e a segunda não traz nova condição. Logo
\ker(T)=\{(x,y,z)=(x,-x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,-1,0)\}
e \dim\ker(T)=1.

Passo 3

Para a imagem de T, aplicamos aos vetores da base canônica de \mathbb{R}^{3}:
T(1,0,0)=t^{2}+t,\qquad T(0,1,0)=t^{2}+t,\qquad T(0,0,1)=t+1.
Portanto
\Im(T)=\span\{\,t^{2}+t,\;t+1\}.
Como t^{2}+t e t+1 são linearmente independentes em P_{2}(\mathbb{R}), obtemos \dim\Im(T)=2 e uma base é \{\,t^{2}+t,\;t+1\}.

Passo 4

O Teorema da Dimensão diz \dim\ker(T)+\dim\Im(T)=3. Aqui \dim\ker(T)=1 e \dim\Im(T)=2. Como \ker(T)\neq\{0\}, T não é injetora, e como \dim\Im(T)=2<3=\dim P_{2}(\mathbb{R}), T não é sobrejetora. Logo T não é bijetora.

Resposta

a) \ker(T)=\span\{(1,-1,0)\}, \dim\ker(T)=1.
b) \Im(T)=\span\{\,t^{2}+t,\;t+1\}, \dim\Im(T)=2.
c) T não é bijetora.

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