Considere os pontos D=(0,1,4), E=(-4,1,2), F=(3,-4,2), G=(1,-3,-1).
Determine a área do triângulo que contém D, E, F como vértices.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: $ D = (0, 1, 4) $, $ E = (-4, 1, 2) $, $ F = (3, -4, 2) $ e $ G = (1, -3, -1) $. Nosso objetivo é encontrar a área do triângulo formado pelos vértices $ D $, $ E $ e $ F $. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir dois vetores que representam os lados do triângulo. Vamos escolher o ponto $ E $ como ponto de referência. Assim, os vetores serão:
E
ED = D - E = (0 - (-4), 1 - 1, 4 - 2) = (4, 0, 2)
Aqui, subtraímos as coordenadas de $ E $ das coordenadas de $ D $ e $ F $ para obter os vetores $ \vec{ED} $ e $ \vec{EF} $, respectivamente.

Passo 3

Agora, para encontrar a área do triângulo, vamos calcular o produto vetorial dos vetores $ \vec{ED} $ e $ \vec{EF} $. O produto vetorial de dois vetores no espaço resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores iniciais.
ED
Calculando o determinante:
EF
ED times EF = i & j & k 4 & 0 & 2 7 & -5 & 0
ED times EF = i(0 cdot 0 - 2 cdot (-5)) - j(4 cdot 0 - 2 cdot 7) + k(4 cdot (-5) - 0 cdot 7)

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude do vetor resultante do produto vetorial:
|ED times EF| = raiz10^2 + 14^2 + (-20)^2 = raiz100 + 196 + 400 = raiz696 approx 26.38
A magnitude do produto vetorial nos dá a área do paralelogramo formado pelos vetores $ \vec{ED} $ e $ \vec{EF} $.

Passo 5

Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, basta dividir a magnitude obtida por 2:
Área do triângulo = |ED times EF|2 = 26.382 approx 13.19 Áâ

Resposta

A área do triângulo com vértices $ D $, $ E $ e $ F $ é aproximadamente $ 13.19 $ unidades de área.

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