Considere os pontos
.
Determine a área do triângulo que contém
como vértices.
Determine a área do triângulo que contém
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: $ D = (0, 1, 4) $, $ E = (-4, 1, 2) $, $ F = (3, -4, 2) $ e $ G = (1, -3, -1) $. Nosso objetivo é encontrar a área do triângulo formado pelos vértices $ D $, $ E $ e $ F $. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir dois vetores que representam os lados do triângulo. Vamos escolher o ponto $ E $ como ponto de referência. Assim, os vetores serão:
Aqui, subtraímos as coordenadas de $ E $ das coordenadas de $ D $ e $ F $ para obter os vetores $ \vec{ED} $ e $ \vec{EF} $, respectivamente.
Passo 3
Agora, para encontrar a área do triângulo, vamos calcular o produto vetorial dos vetores $ \vec{ED} $ e $ \vec{EF} $. O produto vetorial de dois vetores no espaço resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores iniciais.
Calculando o determinante:
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude do vetor resultante do produto vetorial:
A magnitude do produto vetorial nos dá a área do paralelogramo formado pelos vetores $ \vec{ED} $ e $ \vec{EF} $.
Passo 5
Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, basta dividir a magnitude obtida por 2:
Resposta
A área do triângulo com vértices $ D $, $ E $ e $ F $ é aproximadamente $ 13.19 $ unidades de área.