Determine as equações paramétricas do plano tangente a esfera
no ponto
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo uma esfera e o plano tangente a ela em um ponto específico. O enunciado nos dá a equação da esfera:
E o ponto de tangência $ P = (2, -4, 6) $. Para resolver esse problema, precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de vetores normais e a formulação de equações paramétricas de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor normal ao plano tangente. Para isso, derivamos a equação da esfera em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ para obter o gradiente, que nos dará o vetor normal.
A equação geral de uma esfera é:
O gradiente $ \nabla F $ é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, substituímos as coordenadas do ponto $ P = (2, -4, 6) $ nas derivadas para encontrar o vetor normal no ponto de tangência.
Então, o vetor normal ao plano tangente é $ \mathbf{n} = (-2, -4, 6) $.
Passo 4
Para encontrar as equações paramétricas do plano, precisamos de dois vetores diretores que estejam no plano. Esses vetores serão perpendiculares ao vetor normal $ \mathbf{n} $.
Vamos escolher dois vetores qualquer que satisfaçam essa condição. Uma maneira simples é escolher valores para algumas componentes e resolver para as outras.
Vamos escolher $ u = (1, 0, a) $ e $ v = (0, 1, b) $ de modo que:
Primeiro, para $ \mathbf{u} = (1, 0, a) $:
Então, $ \mathbf{u} = \left(1, 0, \frac{1}{3}\right) $.
Agora, para $ \mathbf{v} = (0, 1, b) $:
Então, $ \mathbf{v} = \left(0, 1, \frac{2}{3}\right) $.
Passo 5
Com o ponto $ P = (2, -4, 6) $ e os vetores diretores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $, podemos escrever as equações paramétricas do plano tangente.
As equações paramétricas de um plano são dadas por:
Substituindo os valores:
Resposta
As equações paramétricas do plano tangente à esfera no ponto $ P = (2, -4, 6) $ são: