Determine as equações paramétricas do plano tangente a esfera
x^2+y^2+z^2-6 x+4 y-6 z+8=0
no ponto P=(2,-4,6).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo uma esfera e o plano tangente a ela em um ponto específico. O enunciado nos dá a equação da esfera:
x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y - 6z + 8 = 0
E o ponto de tangência $ P = (2, -4, 6) $. Para resolver esse problema, precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de vetores normais e a formulação de equações paramétricas de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor normal ao plano tangente. Para isso, derivamos a equação da esfera em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ para obter o gradiente, que nos dará o vetor normal.
A equação geral de uma esfera é:
x
O gradiente $ \nabla F $ é dado por:
y
Calculando as derivadas parciais:
z
F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y - 6z + 8 = 0
nabla F

Passo 3

Agora, substituímos as coordenadas do ponto $ P = (2, -4, 6) $ nas derivadas para encontrar o vetor normal no ponto de tangência.
P = (2, -4, 6)
nabla F(2, -4, 6) = ( 2(2) - 6, , 2(-4) + 4, , 2(6) - 6 )
nabla F(2, -4, 6) = ( 4 - 6, , -8 + 4, , 12 - 6 )
Então, o vetor normal ao plano tangente é $ \mathbf{n} = (-2, -4, 6) $.

Passo 4

Para encontrar as equações paramétricas do plano, precisamos de dois vetores diretores que estejam no plano. Esses vetores serão perpendiculares ao vetor normal $ \mathbf{n} $.
Vamos escolher dois vetores qualquer que satisfaçam essa condição. Uma maneira simples é escolher valores para algumas componentes e resolver para as outras.
Vamos escolher $ u = (1, 0, a) $ e $ v = (0, 1, b) $ de modo que:
n
Primeiro, para $ \mathbf{u} = (1, 0, a) $:
u = (1, 0, a)
v = (0, 1, b)
Então, $ \mathbf{u} = \left(1, 0, \frac{1}{3}\right) $.
Agora, para $ \mathbf{v} = (0, 1, b) $:
n cdot u = 0 e n cdot v = 0
u = (1, 0, a)
Então, $ \mathbf{v} = \left(0, 1, \frac{2}{3}\right) $.

Passo 5

Com o ponto $ P = (2, -4, 6) $ e os vetores diretores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $, podemos escrever as equações paramétricas do plano tangente.
As equações paramétricas de um plano são dadas por:
P = (2, -4, 6)
Substituindo os valores:
u

Resposta

As equações paramétricas do plano tangente à esfera no ponto $ P = (2, -4, 6) $ são:
P = (2, -4, 6)

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