A viga de madeira tem tensão de cisalhamento admissível
. Determine a força de cisalhamento máximo V que pode ser aplicada na seção transversal dado o momento de inércia
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma viga de madeira que suporta uma tensão de cisalhamento admissível de 7 MPa. Nosso objetivo é descobrir qual é a força de cisalhamento máximo V que essa viga pode aguentar na sua seção transversal. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre tensão de cisalhamento e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a relação entre a tensão de cisalhamento (τ), a força de cisalhamento (V), o momento de inércia (I) e outras características da seção transversal da viga. A fórmula que conecta esses conceitos é:
Onde:
- τ é a tensão de cisalhamento admissível.
- V é a força de cisalhamento que queremos encontrar.
- Q é o primeiro momento de área da parte da seção onde a cisalhamento é calculada.
- I é o momento de inércia da seção transversal.
- b é a largura da seção na região considerada.
Passo 3
Como não temos detalhes sobre a forma da seção transversal da viga (por exemplo, se é retangular, circular, etc.), vamos assumir que a seção é retangular, que é uma forma comum em vigas de madeira. Para uma seção retangular, o primeiro momento de área Q no ponto onde a tensão de cisalhamento é máxima pode ser calculado como:
Onde:
- A’ é a área da parte da seção acima (ou abaixo) do ponto onde a cisalhamento é calculada.
- y’ é a distância do centroide dessa área até o eixo neutro.
Para uma seção retangular simétrica, a máxima tensão de cisalhamento ocorre no eixo neutro, e $ Q = \frac{A’ \cdot y’}{I} = \frac{b \cdot \frac{h}{2} \cdot \frac{h}{4}}{I} $, simplificando, temos uma relação direta entre $ Q $, $ b $, $ h $ e $ I $.
Passo 4
Vamos reorganizar a fórmula da tensão de cisalhamento para resolver em termos de V:
Considerando que para uma seção retangular $ Q = \frac{b \cdot h}{4} $, substituímos na equação:
Isso simplifica a nossa equação para encontrar V em termos de τ, I e h. Mas ainda precisamos relacionar h com I. Para uma seção retangular:
Sem a largura b, vamos assumir que b = h para simplificar, ou seja, uma seção quadrada. Então:
Passo 5
Agora, substituímos os valores dados:
- τ = 7 MPa = $ 7 \times 10^6 $ Pa
- I = $ 125 \times 10^{-6} $ m
Calculando b:
Agora, substituímos na equação de V:
Resposta
A força de cisalhamento máximo que pode ser aplicada na seção transversal da viga é aproximadamente 66.740 N.