O círculo centrado em A=(-1,2) de raio 3 é tangente a retas paralelas a (2+t, 3-2 t), t in R.
Determine os pontos de tangência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria que envolve círculos e retas. A gente tem um círculo com centro em A=(-1,2) e raio 3, e ele é tangente a retas que são paralelas à reta dada por (2+t, 3-2t), onde t é um número real. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos onde essas retas tangentes tocam o círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta que foi fornecida: (2+t, 3-2t). Isso na verdade representa uma reta paramétrica, onde t é o parâmetro. Podemos reescrever isso na forma de coeficientes diretores.
A equação paramétrica (x, y) = (2+t, 3-2t) pode ser reescrita como:
x - 21 = y - 3-2
Então, a equação vetorial da reta é:
y = -2x + 7
Essa é a forma geral da reta que é paralela às retas tangentes ao nosso círculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a distância de um ponto a uma reta. A distância de um ponto (x0, y0) até uma reta dada por Ax + By + C = 0 é:
d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2
Essa distância, no nosso caso, deve ser igual ao raio do círculo, que é 3.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação da reta y = -2x + 7 para a forma geral Ax + By + C = 0:
2x + y - 7 = 0
Agora, aplicamos a fórmula da distância, onde o ponto A=(-1,2):
3 = |2(-1) + 1(2) - 7|raiz2^2 + 1^2 = |-2 + 2 -7|raiz4 + 1 = |-7|raiz5 = 7raiz5
Para que a distância seja 3, ajustamos a equação da reta paralela à original.

Passo 5

As retas paralelas terão a mesma inclinação, então serão da forma 2x + y + C = 0. Queremos que a distância de A=(-1,2) a essas retas seja 3.
Usando novamente a fórmula da distância:
3 = |2(-1) + 1(2) + C|raiz5 implies |-2 + 2 + C|raiz5 = |C|raiz5 = 3
Então, |C| = 3raiz5, o que nos dá duas possibilidades:
C = 3raiz5 ou C = -3raiz5

Passo 6

Portanto, as equações das retas tangentes são:
2x + y + 3raiz5 = 0 e 2x + y - 3raiz5 = 0

Passo 7

Agora, precisamos encontrar os pontos de tangência entre o círculo e essas duas retas. O círculo tem equação:
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9
E as retas são 2x + y + 3raiz5 = 0 e 2x + y - 3raiz5 = 0.

Passo 8

Vamos resolver o sistema formado pela equação do círculo e de cada reta para encontrar os pontos de tangência.
Primeira reta: 2x + y + 3raiz5 = 0.
Resolvendo para y:
y = -2x - 3raiz5
Substituindo na equação do círculo:
(x + 1)^2 + (-2x - 3raiz5 - 2)^2 = 9
Expandindo e resolvendo essa equação para x, encontramos o ponto de tangência.

Passo 9

Após resolver as equações, encontramos os dois pontos de tangência:
P1 = (-1 - 2raiz52, 7raiz5 - 52)
P2 = (-1 + 2raiz52, -7raiz5 - 52)

Resposta

Os pontos de tangência são:
P1 = (-1 - 2raiz52, 7raiz5 - 52)
e
P2 = (-1 + 2raiz52, -7raiz5 - 52)

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