O círculo centrado em
de raio 3 é tangente a retas paralelas a
.
Determine os pontos de tangência.
Determine os pontos de tangência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria que envolve círculos e retas. A gente tem um círculo com centro em
e raio
, e ele é tangente a retas que são paralelas à reta dada por
, onde
é um número real. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos onde essas retas tangentes tocam o círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta que foi fornecida:
. Isso na verdade representa uma reta paramétrica, onde
é o parâmetro. Podemos reescrever isso na forma de coeficientes diretores.
A equação paramétrica
pode ser reescrita como:
Então, a equação vetorial da reta é:
Essa é a forma geral da reta que é paralela às retas tangentes ao nosso círculo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a distância de um ponto a uma reta. A distância de um ponto
até uma reta dada por
é:
Essa distância, no nosso caso, deve ser igual ao raio do círculo, que é
.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação da reta
para a forma geral
:
Agora, aplicamos a fórmula da distância, onde o ponto
:
Para que a distância seja
, ajustamos a equação da reta paralela à original.
Passo 5
As retas paralelas terão a mesma inclinação, então serão da forma
. Queremos que a distância de
a essas retas seja
.
Usando novamente a fórmula da distância:
Então,
, o que nos dá duas possibilidades:
Passo 6
Portanto, as equações das retas tangentes são:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar os pontos de tangência entre o círculo e essas duas retas. O círculo tem equação:
E as retas são
e
.
Passo 8
Vamos resolver o sistema formado pela equação do círculo e de cada reta para encontrar os pontos de tangência.
Primeira reta:
.
Resolvendo para
:
Substituindo na equação do círculo:
Expandindo e resolvendo essa equação para
, encontramos o ponto de tangência.
Passo 9
Após resolver as equações, encontramos os dois pontos de tangência:
Resposta
Os pontos de tangência são:
e