Considere os pontos com função posiçāo \mathbf{R}(t)=(t-\sin t, 1-\cos t).
(a) Achar a velocidade, a rapidez, e o comprimento de arco.
(b) Reparametrize pelo comprimento de arco. E mostre que \left\|\mathbf{R}^{\prime}(s)\right\|=1.
Passo 1
O enunciado dá a função posição
\mathbf{R}(t) = (t-\sin t,\;1-\cos t)
e pede duas coisas:
(a) Encontrar a velocidade (vetor velocidade), a rapidez (ou seja, o módulo da velocidade) e o comprimento de arco associado à curva parametrizada por t (vou tomar o comprimento de arco medido a partir de t=0, isto é s(t)=\int_{0}^{t}\|\mathbf{R}'(u)\|\,du).
(b) Reparametrizar a curva pelo comprimento de arco s (ou seja, escrever \mathbf{R} como função de s: \mathbf{R}(s)) e mostrar que \big\|\mathbf{R}'(s)\big\|=1.
Informações relevantes dadas:
A coordenada x(t)=t-\sin t.
A coordenada y(t)=1-\cos t.
Não foi dado intervalo explícito de t; para calcular integrais e inverter a relação usarei o ponto inicial t=0. Observação útil: para t\in[0,2\pi] a curva descreve uma arco completo da cicloide gerada por um círculo de raio 1.
Passo 2
Velocidade vetorial \mathbf{R}'(t).
Vamos derivar componente a componente. Regras usadas: a derivada de t é 1; a derivada de \sin t é \cos t; a derivada de \cos t é -\sin t. Então
\mathbf{R}'(t)=\bigl(x'(t),\;y'(t)\bigr)
x'(t)=\frac{d}{dt}(t-\sin t)=1-\cos t
y'(t)=\frac{d}{dt}(1-\cos t)=\sin t.
Portanto a velocidade é
\mathbf{R}'(t)=\bigl(1-\cos t,\;\sin t\bigr).
Explicação curta: o vetor velocidade aponta na direção tangente à curva; cada componente é a taxa de variação daquela coordenada no tempo t.
Passo 3
Rapidez (módulo da velocidade) \|\mathbf{R}'(t)\|.
Definição: a rapidez é \|\mathbf{R}'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}. Substituindo:
Calcule a integral. Uma primitiva de \sin\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) é -2\cos\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) porque \dfrac{d}{du}\bigl[-2\cos(\tfrac{u}{2})\bigr]=\sin(\tfrac{u}{2}). Assim
Observação útil: para t\in[0,2\pi] o valor máximo é s(2\pi)=4(1-\cos\pi)=4(1-(-1))=8. Ou seja, um arco completo da cicloide (uma volta do gerador) tem comprimento 8 quando o círculo gerador tem raio 1.
Passo 5
Inverter s(t) para obter t como função de s (necessário para reparametrizar).
Temos
s=4\bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\bigr).
Isolando \cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr):
\cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=1-\frac{s}{4}.
Tomando \operatorname{arccos} (para valores de s em [0,8] o argumento está em [-1,1]), obtemos
com t(s)=2\operatorname{arccos}\!\bigl(1-\tfrac{s}{4}\bigr). Podemos simplificar a componente y usando identidades trigonométricas para eliminar a função trigonométrica de ângulo duplo:
Usando 1-\cos t = 2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr) e \sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=\dfrac{s}{4}\bigl(1-\dfrac{s}{8}\bigr) obtém-se uma expressão algébrica para y(s). Mais direto:
da relação \cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=1-\tfrac{s}{4} segue
1-\cos t = 2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=2\cdot\frac{s(8-s)}{16}=\frac{s(8-s)}{8}.
Portanto uma forma simplificada é
y(s)=\frac{s(8-s)}{8}.
Para x(s) podemos usar \sin t = 2\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr). Substituindo \sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=\dfrac{\sqrt{s(8-s)}}{4} (escolhendo a raiz positiva para s\in[0,8]) e \cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=1-\tfrac{s}{4}, obtemos
\sin t = 2\cdot\frac{\sqrt{s(8-s)}}{4}\cdot\Bigl(1-\frac{s}{4}\Bigr)=\frac{\sqrt{s(8-s)}}{2}\Bigl(1-\frac{s}{4}\Bigr).
Como t(s)=2\operatorname{arccos}\!\bigl(1-\tfrac{s}{4}\bigr), temos
(Na prática é suficiente dizer \mathbf{R}(s)=\mathbf{R}\bigl(t(s)\bigr) com t(s)=2\operatorname{arccos}(1-\tfrac{s}{4}); a forma acima dá as componentes explicitamente em termos de s.)
Passo 7
Mostrar que \big\|\mathbf{R}'(s)\big\|=1.
Teorema/idéia usada: se s(t) é o comprimento de arco medido a partir de t_{0}, então ds/dt=\|\mathbf{R}'(t)\|. Quando reparametrizamos por s temos t=t(s) e, pela regra da cadeia,
para todos os t onde \|\mathbf{R}'(t)\|\neq0. Assim mostramos que a reparametrização pelo comprimento de arco produz um vetor velocidade de norma 1, como desejado.
Resposta
(a) \displaystyle \mathbf{R}'(t)=\bigl(1-\cos t,\;\sin t\bigr)
(a) \displaystyle \|\mathbf{R}'(t)\|=2\bigl|\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\bigr| (para t\in[0,2\pi] isto é \;2\sin(\tfrac{t}{2}))
(a) \displaystyle s(t)=4\bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\bigr) (comprimento de arco desde t=0 até t)
(b) \displaystyle t(s)=2\operatorname{arccos}\!\bigl(1-\tfrac{s}{4}\bigr), e uma reparametrização explícita para s\in[0,8] é \displaystyle \mathbf{R}(s)=\left(2\operatorname{arccos}\!\Bigl(1-\frac{s}{4}\Bigr)-\frac{1}{2}\Bigl(1-\frac{s}{4}\Bigr)\sqrt{s(8-s)},\;\frac{s(8-s)}{8}\right)
(b) \displaystyle \big\|\mathbf{R}'(s)\big\|=1