Considere os pontos com função posiçāo \mathbf{R}(t)=(t-\sin t, 1-\cos t).
(a) Achar a velocidade, a rapidez, e o comprimento de arco.
(b) Reparametrize pelo comprimento de arco. E mostre que \left\|\mathbf{R}^{\prime}(s)\right\|=1.

Passo 1

O enunciado dá a função posição
\mathbf{R}(t) = (t-\sin t,\;1-\cos t)
e pede duas coisas:
(a) Encontrar a velocidade (vetor velocidade), a rapidez (ou seja, o módulo da velocidade) e o comprimento de arco associado à curva parametrizada por t (vou tomar o comprimento de arco medido a partir de t=0, isto é s(t)=\int_{0}^{t}\|\mathbf{R}'(u)\|\,du).
(b) Reparametrizar a curva pelo comprimento de arco s (ou seja, escrever \mathbf{R} como função de s: \mathbf{R}(s)) e mostrar que \big\|\mathbf{R}'(s)\big\|=1.
Informações relevantes dadas:
  • A coordenada x(t)=t-\sin t.
  • A coordenada y(t)=1-\cos t.
  • Não foi dado intervalo explícito de t; para calcular integrais e inverter a relação usarei o ponto inicial t=0. Observação útil: para t\in[0,2\pi] a curva descreve uma arco completo da cicloide gerada por um círculo de raio 1.

Passo 2

Velocidade vetorial \mathbf{R}'(t).
Vamos derivar componente a componente. Regras usadas: a derivada de t é 1; a derivada de \sin t é \cos t; a derivada de \cos t é -\sin t. Então
\mathbf{R}'(t)=\bigl(x'(t),\;y'(t)\bigr)
x'(t)=\frac{d}{dt}(t-\sin t)=1-\cos t
y'(t)=\frac{d}{dt}(1-\cos t)=\sin t.
Portanto a velocidade é
\mathbf{R}'(t)=\bigl(1-\cos t,\;\sin t\bigr).
Explicação curta: o vetor velocidade aponta na direção tangente à curva; cada componente é a taxa de variação daquela coordenada no tempo t.

Passo 3

Rapidez (módulo da velocidade) \|\mathbf{R}'(t)\|.
Definição: a rapidez é \|\mathbf{R}'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}. Substituindo:
\|\mathbf{R}'(t)\|=\sqrt{(1-\cos t)^{2}+\sin^{2}t}.
Agora simplificamos. Expande ou use identidades trigonométricas:
(1-\cos t)^{2}+\sin^{2}t = 1 -2\cos t +\cos^{2}t +\sin^{2}t = 2 -2\cos t.
Usando a identidade de meia-ângulo 1-\cos t = 2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr) ou 2-2\cos t = 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr), obtemos
\|\mathbf{R}'(t)\|=\sqrt{4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)} = 2\bigl|\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\bigr|.
Comentário prático: para os arcos onde \sin(\tfrac{t}{2})\ge0 (por exemplo t\in[0,2\pi]) a rapidez é simplesmente
\|\mathbf{R}'(t)\|=2\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr).

Passo 4

Comprimento de arco s(t) a partir de t=0.
Definição: o comprimento de arco medido de 0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}\|\mathbf{R}'(u)\|\,du.
Usando a expressão \|\mathbf{R}'(u)\|=2\sin\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) (válida para u em [0,2\pi], onde a rapidez é não negativa), temos
s(t)=\int_{0}^{t}2\sin\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr)\,du.
Calcule a integral. Uma primitiva de \sin\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) é -2\cos\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) porque \dfrac{d}{du}\bigl[-2\cos(\tfrac{u}{2})\bigr]=\sin(\tfrac{u}{2}). Assim
\int 2\sin\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr)\,du = -4\cos\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr)+C.
Aplicando os limites de 0 a t:
s(t)=\bigl[-4\cos\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr)\bigr]_{u=0}^{u=t} = -4\cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr) +4\cos(0).
s(t)=4\bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\bigr).
Observação útil: para t\in[0,2\pi] o valor máximo é s(2\pi)=4(1-\cos\pi)=4(1-(-1))=8. Ou seja, um arco completo da cicloide (uma volta do gerador) tem comprimento 8 quando o círculo gerador tem raio 1.

Passo 5

Inverter s(t) para obter t como função de s (necessário para reparametrizar).
Temos
s=4\bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\bigr).
Isolando \cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr):
\cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=1-\frac{s}{4}.
Tomando \operatorname{arccos} (para valores de s em [0,8] o argumento está em [-1,1]), obtemos
t(s)=2\operatorname{arccos}\!\bigl(1-\tfrac{s}{4}\bigr).
Isto dá t em função de s. Agora podemos escrever \mathbf{R} em termos de s.

Passo 6

Reparametrização explícita \mathbf{R}(s).
A definição direta seria \mathbf{R}(s)=\mathbf{R}\bigl(t(s)\bigr), isto é
\mathbf{R}(s)=\Bigl(t(s)-\sin\bigl(t(s)\bigr),\;1-\cos\bigl(t(s)\bigr)\Bigr)
com t(s)=2\operatorname{arccos}\!\bigl(1-\tfrac{s}{4}\bigr). Podemos simplificar a componente y usando identidades trigonométricas para eliminar a função trigonométrica de ângulo duplo:
Usando 1-\cos t = 2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr) e \sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=\dfrac{s}{4}\bigl(1-\dfrac{s}{8}\bigr) obtém-se uma expressão algébrica para y(s). Mais direto:
da relação \cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=1-\tfrac{s}{4} segue
\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=1-\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=1-\bigl(1-\tfrac{s}{4}\bigr)^{2}=\frac{s(8-s)}{16}.
Então
1-\cos t = 2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=2\cdot\frac{s(8-s)}{16}=\frac{s(8-s)}{8}.
Portanto uma forma simplificada é
y(s)=\frac{s(8-s)}{8}.
Para x(s) podemos usar \sin t = 2\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr). Substituindo \sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=\dfrac{\sqrt{s(8-s)}}{4} (escolhendo a raiz positiva para s\in[0,8]) e \cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=1-\tfrac{s}{4}, obtemos
\sin t = 2\cdot\frac{\sqrt{s(8-s)}}{4}\cdot\Bigl(1-\frac{s}{4}\Bigr)=\frac{\sqrt{s(8-s)}}{2}\Bigl(1-\frac{s}{4}\Bigr).
Como t(s)=2\operatorname{arccos}\!\bigl(1-\tfrac{s}{4}\bigr), temos
x(s)=2\operatorname{arccos}\!\Bigl(1-\frac{s}{4}\Bigr)\;-\;\frac{1}{2}\Bigl(1-\frac{s}{4}\Bigr)\sqrt{s(8-s)}.
Resumo da reparametrização para s\in[0,8]:
\mathbf{R}(s)=\left(\;2\operatorname{arccos}\!\Bigl(1-\frac{s}{4}\Bigr)\;-\;\frac{1}{2}\Bigl(1-\frac{s}{4}\Bigr)\sqrt{s(8-s)}\;,\;\frac{s(8-s)}{8}\right).
(Na prática é suficiente dizer \mathbf{R}(s)=\mathbf{R}\bigl(t(s)\bigr) com t(s)=2\operatorname{arccos}(1-\tfrac{s}{4}); a forma acima dá as componentes explicitamente em termos de s.)

Passo 7

Mostrar que \big\|\mathbf{R}'(s)\big\|=1.
Teorema/idéia usada: se s(t) é o comprimento de arco medido a partir de t_{0}, então ds/dt=\|\mathbf{R}'(t)\|. Quando reparametrizamos por s temos t=t(s) e, pela regra da cadeia,
\frac{d\mathbf{R}}{ds}=\frac{d\mathbf{R}}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\mathbf{R}'(t)\cdot\frac{1}{ds/dt}.
Mas ds/dt=\|\mathbf{R}'(t)\|, logo
\frac{d\mathbf{R}}{ds}=\frac{\mathbf{R}'(t)}{\|\mathbf{R}'(t)\|}.
Tomando norma dos dois lados:
\big\|\mathbf{R}'(s)\big\|=\left\|\frac{\mathbf{R}'(t)}{\|\mathbf{R}'(t)\|}\right\|=\frac{\|\mathbf{R}'(t)\|}{\|\mathbf{R}'(t)\|}=1,
para todos os t onde \|\mathbf{R}'(t)\|\neq0. Assim mostramos que a reparametrização pelo comprimento de arco produz um vetor velocidade de norma 1, como desejado.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{R}'(t)=\bigl(1-\cos t,\;\sin t\bigr)
(a) \displaystyle \|\mathbf{R}'(t)\|=2\bigl|\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\bigr| (para t\in[0,2\pi] isto é \;2\sin(\tfrac{t}{2}))
(a) \displaystyle s(t)=4\bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\bigr) (comprimento de arco desde t=0 até t)
(b) \displaystyle t(s)=2\operatorname{arccos}\!\bigl(1-\tfrac{s}{4}\bigr), e uma reparametrização explícita para s\in[0,8] é
\displaystyle \mathbf{R}(s)=\left(2\operatorname{arccos}\!\Bigl(1-\frac{s}{4}\Bigr)-\frac{1}{2}\Bigl(1-\frac{s}{4}\Bigr)\sqrt{s(8-s)},\;\frac{s(8-s)}{8}\right)
(b) \displaystyle \big\|\mathbf{R}'(s)\big\|=1

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