Seja a curva \mathbf{R}(t)=\left(\cos t, \sin t, t^{2}\right), t \in[0, \pi]. Ache o comprimento de arco. (Sug. use \int \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{2}\left[x \sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2} \log \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)\right]+C.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
É dada a curva vetor \mathbf{R}(t)=\left(\cos t,\\ \sin t,\\ t^{2}\right) com t\in[0,\pi].
A pergunta é: achar o comprimento de arco dessa curva no intervalo dado.
Informação adicional (sugestão do enunciado): a primitiva
Intuição rápida: em um pequeno intervalo \Delta t a variação de posição é aproximadamente \mathbf{R}'(t)\Delta t, cujo comprimento é \lVert\mathbf{R}'(t)\rVert\Delta t; somando (integrando) obtemos o comprimento total.
Bom trabalho! Essa integral aparece com frequência: trigonometria dá uma parte fixa (a componente circular) e a componente t^{2} acrescenta essa parte hiperbólica \sqrt{1+4t^{2}} que gera o log na primitiva.