Seja a curva \mathbf{R}(t)=\left(\cos t, \sin t, t^{2}\right), t \in[0, \pi]. Ache o comprimento de arco. (Sug. use \int \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{2}\left[x \sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2} \log \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)\right]+C.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • É dada a curva vetor \mathbf{R}(t)=\left(\cos t,\\ \sin t,\\ t^{2}\right) com t\in[0,\pi].
  • A pergunta é: achar o comprimento de arco dessa curva no intervalo dado.
  • Informação adicional (sugestão do enunciado): a primitiva
\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\left[x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr)\right]+C
é válida e pode ser usada.

Passo 2

Fórmula do comprimento de arco e ideia por trás dela.
  • Para uma curva parametrizada por \mathbf{R}(t) em t\in[a,b], o comprimento de arco L é dado por
L=\int_{a}^{b}\bigl\lVert \mathbf{R}'(t)\bigr\rVert\,dt.
  • Intuição rápida: em um pequeno intervalo \Delta t a variação de posição é aproximadamente \mathbf{R}'(t)\Delta t, cujo comprimento é \lVert\mathbf{R}'(t)\rVert\Delta t; somando (integrando) obtemos o comprimento total.
  • Vamos aplicar essa fórmula à curva do enunciado.

Passo 3

Calcular a derivada \mathbf{R}'(t).
  • Derivando componente a componente:
    • \dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t.
    • \dfrac{d}{dt}(\sin t)=\cos t.
    • \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.
  • Portanto
\mathbf{R}'(t)=\bigl(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 2t\bigr).

Passo 4

Calcular a norma \bigl\lVert \mathbf{R}'(t)\bigr\rVert que será o integrando.
  • A norma de um vetor (v_{1},v_{2},v_{3}) é \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}.
  • Aplicando:
\bigl\lVert \mathbf{R}'(t)\bigr\rVert=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+4t^{2}}.
  • Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, obtemos
\bigl\lVert \mathbf{R}'(t)\bigr\rVert=\sqrt{1+4t^{2}}.
  • Logo o comprimento é
L=\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+4t^{2}}\,dt.

Passo 5

Simplificar a integral por substituição para usar a primitiva sugerida.
  • Faça a substituição x=2t. Então dx=2\,dt ou dt=\dfrac{dx}{2}.
  • Mudança de limites: quando t=0 temos x=0; quando t=\pi temos x=2\pi.
  • A integral fica
L=\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+4t^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sqrt{x^{2}+1}\,dx.

Passo 6

Usar a primitiva fornecida e avaliar a integral definida.
  • A primitiva com a^{2}=1 (logo a=1) é
\int \sqrt{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\Bigl[x\sqrt{x^{2}+1}+\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\Bigr]+C.
  • Como temos um fator \tfrac{1}{2} fora, para a integral definida obtemos
L=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\Bigl(x\sqrt{x^{2}+1}+\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\Bigr)\right]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{4}\Bigl[x\sqrt{x^{2}+1}+\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\Bigr]_{0}^{2\pi}.
  • Avaliando nos extremos:
    • Em x=2\pi: 2\pi\sqrt{(2\pi)^{2}+1}+\ln\!\bigl(2\pi+\sqrt{(2\pi)^{2}+1}\bigr).
    • Em x=0: 0\cdot\sqrt{0^{2}+1}+\ln(0+\sqrt{1})=0+\ln(1)=0.
  • Subtraindo e simplificando:
L=\frac{1}{4}\Bigl(2\pi\sqrt{1+4\pi^{2}}+\ln\!\bigl(2\pi+\sqrt{1+4\pi^{2}}\bigr)\Bigr).
  • Reescrevendo um pouco:
L=\frac{\pi}{2}\sqrt{1+4\pi^{2}}+\frac{1}{4}\ln\!\bigl(2\pi+\sqrt{1+4\pi^{2}}\bigr).

Passo 7

Interpretação rápida e valor numérico aproximado (para intuição).
  • A expressão exata já é a resposta final. Em aproximação decimal:
    • \sqrt{1+4\pi^{2}}\approx 6{,}363961,
    • \dfrac{\pi}{2}\sqrt{1+4\pi^{2}}\approx 10{,}0000,
    • \dfrac{1}{4}\ln\!\bigl(2\pi+\sqrt{1+4\pi^{2}}\bigr)\approx 0{,}6343.
  • Portanto L\approx 10{,}6343.
  • Bom trabalho! Essa integral aparece com frequência: trigonometria dá uma parte fixa (a componente circular) e a componente t^{2} acrescenta essa parte hiperbólica \sqrt{1+4t^{2}} que gera o log na primitiva.

Resposta

\displaystyle L=\frac{\pi}{2}\sqrt{1+4\pi^{2}}+\frac{1}{4}\ln\!\bigl(2\pi+\sqrt{1+4\pi^{2}}\bigr)

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