Seja
, faça o gráfico de T , represente as curvas de nível 2 , 3 e - 1
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Fazer o gráfico de
(ou seja, a superfície em definida por ). - Representar as curvas de nível correspondentes aos valores
, e .
Informações relevantes fornecidas:
- Fórmula da função:
. - Os níveis solicitados são
, e .
Nada mais foi dado; a função está definida para todo.
Passo 2
O que é o “gráfico” de
: é a superfície em
formada pelos pontos
tais que
Ou seja, a superfície é a representação de
em função de
e
:
Para entender como essa superfície se comporta, é útil analisar seções (traços):
- Se fixo
, então é uma reta no plano com inclinação (variando muda na mesma proporção). Portanto, para cada a seção em direção é uma reta inclinada. - Se fixo
, então é uma parábola em (abre para cima) com vértice em .
Conclusão qualitativa: a superfície é um “parabolic cylinder” — parabólica na direção
(para cada
é uma parábola) e translada linearmente em
. Para esboçar: desenhe parabolas em planos
constante, cujos vértices deslizam na direção
com
.
Passo 3
O que são curvas de nível: para cada valor
a curva de nível é o conjunto de pontos
no plano tal que
. Geometricamente, é a interseção da superfície
com o plano horizontal
projetada no plano
.
A equação geral da curva de nível
vem de
Isolando
,
Portanto, para qualquer nível
a curva de nível é a parábola no plano
dada por
Observações sobre essa família:
- É uma família de parábolas todas com o mesmo “formato” (coeficiente
em ), ou seja, todas abrem para a esquerda (porque o coeficiente de é negativo quando escrevemos em função de ). - O vértice de cada parábola é
. - A parábola existe para todos
; se quisermos os pontos onde (interseção com eixo ) resolvemos , que só existem se .
Passo 4
Aplicando para
:
- Equação:
- Vértice:
. - Interseção com
: resolver . - Exemplos de pontos:
; ; . - Forma: parábola abrindo para a esquerda, deslocada para a direita com vértice em
.
Passo 5
Aplicando para
:
- Equação:
- Vértice:
. - Interseção com
: . - Exemplos de pontos:
; ; . - Forma: parábola igual à anterior mas deslocada mais para a direita (vértice em
).
Passo 6
Aplicando para
:
- Equação:
- Vértice:
. - Interseção com
: (apenas o ponto ). - Exemplos de pontos:
; ; . - Forma: parábola com vértice na origem, abrindo para a esquerda.
Passo 7
Comparação visual e dicas de esboço no plano
:
- As três parábolas não se cruzam; elas são todas da mesma forma, deslocadas horizontalmente.
- Ordem dos vértices (da direita para a esquerda):
tem vértice em , em , em . - Para desenhar à mão no plano
: - Desenhe os eixos
e . - Marque os vértices em
, e . - Para cada nível, marque as interseções com
(quando existem) e alguns pontos usando . - Trace uma parábola que abre para a esquerda passando por esses pontos e pelo vértice.
- Desenhe os eixos
Passo 8
Como relacionar as curvas de nível com o gráfico 3D:
- Cada curva de nível
é a projeção no plano da interseção da superfície com o plano horizontal . - Se quiser visualizar em 3D, imagine as três planificações horizontais
. A interseção de cada plano com a superfície é a curva em 3D que, ao projetar sobre o plano , dá as parábolas descritas. Numerar cada curva com seu no esboço ajuda a entender a altura relativa.
Passo 9
Resumo prático para entrega / prova:
- Escreva a superfície como
. - Em um único esboço do plano
, desenhe as três parábolas com as equações abaixo, marcando vértices e alguns pontos auxiliares para garantir a forma correta.
Resposta
Curva de nível
Curva de nível
Curva de nível
Curva de nível
Curva de nível