Seja T(x, y)=x+y^{2}-1, faça o gráfico de T , represente as curvas de nível 2 , 3 e - 1

Passo 1

O enunciado dá a função T(x,y)=x+y^{2}-1 e pede duas coisas:
  • Fazer o gráfico de T (ou seja, a superfície em \mathbb{R}^{3} definida por z=T(x,y)).
  • Representar as curvas de nível correspondentes aos valores 2, 3 e -1.
Informações relevantes fornecidas:
  • Fórmula da função: T(x,y)=x+y^{2}-1.
  • Os níveis solicitados são c=2, c=3 e c=-1.
    Nada mais foi dado; a função está definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que é o “gráfico” de T: é a superfície em \mathbb{R}^{3} formada pelos pontos (x,y,z) tais que
z = T(x,y) = x + y^{2} - 1.
Ou seja, a superfície é a representação de z em função de x e y:
\text{Superfície:}\qquad z = x + y^{2} - 1.í
Para entender como essa superfície se comporta, é útil analisar seções (traços):
  • Se fixo y=y_{0}, então \;z = x + y_{0}^{2}-1\; é uma reta no plano x\!z com inclinação 1 (variando x muda z na mesma proporção). Portanto, para cada y_{0} a seção em direção x é uma reta inclinada.
  • Se fixo x=x_{0}, então \;z = x_{0} + y^{2}-1\; é uma parábola em y (abre para cima) com vértice em y=0,\;z=x_{0}-1.
Conclusão qualitativa: a superfície é um “parabolic cylinder” — parabólica na direção y (para cada x é uma parábola) e translada linearmente em x. Para esboçar: desenhe parabolas em planos x= constante, cujos vértices deslizam na direção z com x.

Passo 3

O que são curvas de nível: para cada valor c a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) no plano tal que T(x,y)=c. Geometricamente, é a interseção da superfície z=T(x,y) com o plano horizontal z=c projetada no plano xy.
A equação geral da curva de nível c vem de
x + y^{2} - 1 = c.
Isolando x,
x = c + 1 - y^{2}.
Portanto, para qualquer nível c a curva de nível é a parábola no plano xy dada por
\text{Curva de nível }c:\qquad x = c+1 - y^{2}.í
Observações sobre essa família:
  • É uma família de parábolas todas com o mesmo “formato” (coeficiente -1 em y^{2}), ou seja, todas abrem para a esquerda (porque o coeficiente de y^{2} é negativo quando escrevemos x em função de y).
  • O vértice de cada parábola é (x,y)=(c+1,\,0).
  • A parábola existe para todos y\in\mathbb{R}; se quisermos os pontos onde x=0 (interseção com eixo y) resolvemos 0=c+1-y^{2}\Rightarrow y=\pm\sqrt{c+1}, que só existem se c+1\ge 0.

Passo 4

Aplicando para c=2:
  • Equação: \;x = 2+1 - y^{2} = 3 - y^{2}.
  • Vértice: (3,0).
  • Interseção com x=0: resolver 0=3 - y^{2}\Rightarrow y=\pm\sqrt{3}.
  • Exemplos de pontos: y=0 \Rightarrow x=3; y=1 \Rightarrow x=2; y=2 \Rightarrow x=-1.
  • Forma: parábola abrindo para a esquerda, deslocada para a direita com vértice em x=3.

Passo 5

Aplicando para c=3:
  • Equação: \;x = 3+1 - y^{2} = 4 - y^{2}.
  • Vértice: (4,0).
  • Interseção com x=0: 0=4 - y^{2}\Rightarrow y=\pm 2.
  • Exemplos de pontos: y=0 \Rightarrow x=4; y=1 \Rightarrow x=3; y=3 \Rightarrow x=-5.
  • Forma: parábola igual à anterior mas deslocada mais para a direita (vértice em x=4).

Passo 6

Aplicando para c=-1:
  • Equação: \;x = -1+1 - y^{2} = - y^{2}.
  • Vértice: (0,0).
  • Interseção com x=0: 0 = -y^{2}\Rightarrow y=0 (apenas o ponto (0,0)).
  • Exemplos de pontos: y=0 \Rightarrow x=0; y=1 \Rightarrow x=-1; y=2 \Rightarrow x=-4.
  • Forma: parábola com vértice na origem, abrindo para a esquerda.

Passo 7

Comparação visual e dicas de esboço no plano xy:
  • As três parábolas não se cruzam; elas são todas da mesma forma, deslocadas horizontalmente.
  • Ordem dos vértices (da direita para a esquerda): c=3 tem vértice em (4,0), c=2 em (3,0), c=-1 em (0,0).
  • Para desenhar à mão no plano xy:
    1. Desenhe os eixos x e y.
    2. Marque os vértices em (4,0), (3,0) e (0,0).
    3. Para cada nível, marque as interseções com x=0 (quando existem) e alguns pontos y=\pm1,\pm2 usando x=c+1-y^{2}.
    4. Trace uma parábola que abre para a esquerda passando por esses pontos e pelo vértice.

Passo 8

Como relacionar as curvas de nível com o gráfico 3D:
  • Cada curva de nível x=c+1-y^{2} é a projeção no plano xy da interseção da superfície com o plano horizontal z=c.
  • Se quiser visualizar em 3D, imagine as três planificações horizontais z=2,\;z=3,\;z=-1. A interseção de cada plano com a superfície é a curva em 3D que, ao projetar sobre o plano xy, dá as parábolas descritas. Numerar cada curva com seu c no esboço ajuda a entender a altura relativa.

Passo 9

Resumo prático para entrega / prova:
  • Escreva a superfície como z=x+y^{2}-1.
  • Em um único esboço do plano xy, desenhe as três parábolas com as equações abaixo, marcando vértices e alguns pontos auxiliares para garantir a forma correta.

Resposta

z = x + y^{2} - 1
Curva de nível 2:\quad x = 3 - y^{2}
Curva de nível 3:\quad x = 4 - y^{2}
Curva de nível -1:\quad x = -\,y^{2}

Exercícios relacionados