Q.2) Considere os pontos na tabela abaixo. O polinômio
passa pelos pontos
para
.
0
1
2
3
4
-2
-1
0
1
2
-10
-4
-4
2
14
(a) Encontre um polinômio interpolador de grau não superior a 4 que passa por todos os pontos da tabela, usando o mínimo esforço computacional.
(b) Determine
.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
|
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|
|
-10 | -4 | -4 | 2 | 14 |
(b) Determine
Passo 1
O enunciado dá a tabela de pontos:
e informa que o polinômio
passa pelos pontos
para
(isto é, passa por todos exceto possivelmente pelo ponto com
, que é
).\n
As perguntas são:
(a) Encontrar um polinômio interpolador de grau que passe por todos os cinco pontos da tabela, usando o mínimo de cálculo possível.
(b) Calcular o valor desse polinômio de grau 4 em .
As perguntas são:
(a) Encontrar um polinômio interpolador de grau
(b) Calcular o valor desse polinômio de grau 4 em
Passo 2
Ideia-chave (explicada como se estivéssemos juntos na folha): já temos um polinômio
que acerta quatro dos cinco pontos. Se quisermos um polinômio
de grau
que passe por todos os cinco, então a diferença
deve ser um polinômio que zera em
(porque nesses
os dois polinômios têm o mesmo valor). Um polinômio que zera nesses quatro pontos tem que ser múltiplo do polinômio
Portanto podemos escrever, para algum escalar
,
Explicação do porquê: se um polinômio tem raízes r1,r2,… então ele é múltiplo do produto
. Aqui as raízes exigidas são
.
Passo 3
Agora determinamos o coeficiente
usando o ponto restante
. Substituindo
em
deve dar
. Primeiro calculo
:
O fator produto em
vale
Logo, impondo
,
Resolvendo para
:
Passo 4
Substituo
na expressão de
. Primeiro note que
Portanto
Agora expandindo e somando termos (vou mostrar passo a passo):
Somando:
Simplificando
e
, obtemos
Passo 5
Agora calculo
. É mais limpo usar frações:
.
Primeiro :
Primeiro
Calculo termo a termo:
Somando com
usando denominador comum
:
Agora o produto
em
:
Multiplicando por
:
Finalmente
Colocando em denominador
:
Portanto
.