Q.2) Considere os pontos na tabela abaixo. O polinômio P_{3}(x)=-2+2 x+x^{2}+x^{3} passa pelos pontos \left(x_{i}, y_{i}\right) para i \in\{0,1,3,4\}.
i 0 1 2 3 4
x_{i} -2 -1 0 1 2
y_{i} -10 -4 -4 2 14
(a) Encontre um polinômio interpolador de grau não superior a 4 que passa por todos os pontos da tabela, usando o mínimo esforço computacional.
(b) Determine P_{4}(1,5).

Passo 1

O enunciado dá a tabela de pontos:
\begin{array}{r|rrrrr} i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\hline x_i & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\\ y_i & -10 & -4 & -4 & 2 & 14 \end{array}
e informa que o polinômio \;P_{3}(x)=-2+2x+x^{2}+x^{3}\; passa pelos pontos (x_i,y_i) para i\in\{0,1,3,4\} (isto é, passa por todos exceto possivelmente pelo ponto com i=2, que é (0,-4)).\n
As perguntas são:
(a) Encontrar um polinômio interpolador de grau \le 4 que passe por todos os cinco pontos da tabela, usando o mínimo de cálculo possível.
(b) Calcular o valor desse polinômio de grau 4 em x=1{,}5.

Passo 2

Ideia-chave (explicada como se estivéssemos juntos na folha): já temos um polinômio \;P_3(x)\; que acerta quatro dos cinco pontos. Se quisermos um polinômio \;P_4(x)\; de grau \le4 que passe por todos os cinco, então a diferença
D(x)=P_4(x)-P_3(x)
deve ser um polinômio que zera em x=-2,-1,1,2 (porque nesses x os dois polinômios têm o mesmo valor). Um polinômio que zera nesses quatro pontos tem que ser múltiplo do polinômio
(x+2)(x+1)(x-1)(x-2).
Portanto podemos escrever, para algum escalar a,
P_4(x)=P_3(x)+a\,(x+2)(x+1)(x-1)(x-2).
Explicação do porquê: se um polinômio tem raízes r1,r2,… então ele é múltiplo do produto (x-r_1)(x-r_2)\cdots. Aqui as raízes exigidas são -2,-1,1,2.

Passo 3

Agora determinamos o coeficiente a usando o ponto restante (0,-4). Substituindo x=0 em P_4(x) deve dar -4. Primeiro calculo P_3(0):
P_3(0)=-2+2\cdot0+0^2+0^3=-2.
O fator produto em x=0 vale
(0+2)(0+1)(0-1)(0-2)=2\cdot1\cdot(-1)\cdot(-2)=4.
Logo, impondo P_4(0)=-4,
-4 = P_4(0) = P_3(0) + a\cdot 4 = -2 + 4a.
Resolvendo para a:
4a = -4 + 2 = -2 \quad\Rightarrow\quad a=-\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Substituo a=-\tfrac{1}{2} na expressão de P_4. Primeiro note que
(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)=(x^2-1)(x^2-4)=x^4-5x^2+4.
Portanto
P_4(x)=P_3(x)-\tfrac{1}{2}\,(x^4-5x^2+4).
Agora expandindo e somando termos (vou mostrar passo a passo):
P_3(x)=-2+2x+x^2+x^3,
-\tfrac{1}{2}(x^4-5x^2+4)=-\tfrac{1}{2}x^4+\tfrac{5}{2}x^2-2.
Somando:
P_4(x)=-\tfrac{1}{2}x^4 + x^3 +\Big(1+\tfrac{5}{2}\Big)x^2 +2x +(-2-2).
Simplificando 1+\tfrac{5}{2}=\tfrac{7}{2} e -2-2=-4, obtemos
\boxed{P_4(x)=-\tfrac{1}{2}x^4 + x^3 + \tfrac{7}{2}x^2 + 2x -4.}

Passo 5

Agora calculo P_4(1{,}5). É mais limpo usar frações: 1{,}5=\tfrac{3}{2}.
Primeiro P_3(\tfrac{3}{2}):
P_3\Big(\tfrac{3}{2}\Big)=-2+2\cdot\tfrac{3}{2}+\Big(\tfrac{3}{2}\Big)^2+\Big(\tfrac{3}{2}\Big)^3.
Calculo termo a termo:
2\cdot\tfrac{3}{2}=3,\quad \Big(\tfrac{3}{2}\Big)^2=\tfrac{9}{4},\quad \Big(\tfrac{3}{2}\Big)^3=\tfrac{27}{8}.
Somando com -2 usando denominador comum 8:
-2+3+\tfrac{9}{4}+\tfrac{27}{8}=\tfrac{-16+24+18+27}{8}=\tfrac{53}{8}.
Agora o produto (x+2)(x+1)(x-1)(x-2) em x=\tfrac{3}{2}:
\Big(\tfrac{3}{2}+2\Big)\Big(\tfrac{3}{2}+1\Big)\Big(\tfrac{3}{2}-1\Big)\Big(\tfrac{3}{2}-2\Big) =\tfrac{7}{2}\cdot\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\Big(-\tfrac{1}{2}\Big)= -\tfrac{35}{16}.
Multiplicando por a=-\tfrac{1}{2}:
a\cdot\text{produto} = -\tfrac{1}{2}\cdot\Big(-\tfrac{35}{16}\Big)=\tfrac{35}{32}.
Finalmente
P_4\Big(\tfrac{3}{2}\Big)=P_3\Big(\tfrac{3}{2}\Big)+a\cdot\text{produto}=\tfrac{53}{8}+\tfrac{35}{32}.
Colocando em denominador 32:
\tfrac{53}{8}=\tfrac{212}{32},\quad \tfrac{212}{32}+\tfrac{35}{32}=\tfrac{247}{32}.
Portanto P_4(1{,}5)=\tfrac{247}{32}.

Resposta

P_4(x)=-\tfrac{1}{2}x^4 + x^3 + \tfrac{7}{2}x^2 + 2x -4
P_4(1{,}5)=\tfrac{247}{32}

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