Q.4) Construa as diferenças divididas associadas à tabela abaixo e responda:
0
1,0
0,7651
1
1,3
0,6200
2
1,6
0,4554
3
1,9
0,2818
4
2,2
0,1104
(a) A tabela de diferenças divididas permite escrever o (único) polinômio interpolador dos cinco pontos
por meio de duas expressões. Quais são elas ?
(b) Estime o valor da função
em
, por meio de um polinômio de Newton de grau 2, considerando a escolha apropriada dos pontos de interpolação.
Q.5) Seja
um polinômio de grau
. Considere
pontos
, onde
, tais que
para
. Qual é o valor das diferenças divididas
? Justifique sua resposta.
|
|
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|
|
|
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|
| 0 | 1,0 | 0,7651 | ||||
| 1 | 1,3 | 0,6200 | ||||
| 2 | 1,6 | 0,4554 | ||||
| 3 | 1,9 | 0,2818 | ||||
| 4 | 2,2 | 0,1104 |
(b) Estime o valor da função
Q.5) Seja
Passo 1
O enunciado dá cinco pontos e pede duas coisas principais: (i) construir as diferenças divididas associadas à tabela e escrever as duas expressões do polinômio interpolador em forma de Newton; (ii) estimar
usando um polinômio de Newton de grau 2 com escolha apropriada dos pontos. Além disso há a questão Q.5, que pede o valor de diferenças divididas de ordem
quando
é um polinômio de grau
.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
O que vou fazer a seguir: definir a diferença dividida, calcular todas as diferenças divididas necessárias (ordens 1 a 4) explicando cada passo, escrever as duas formas do polinômio de Newton usando essas diferenças, escolher os três pontos mais apropriados para estimar
por um polinômio quadrático e calcular a estimativa, e finalmente responder Q.5 com justificativa.]
Passo 2
Definição e fórmula prática das diferenças divididas (aula rápida e prática).
- Diferença dividida de ordem 0:
Cada valor
é uma diferença dividida de ordem zero.
- Diferença dividida de primeira ordem entre
e ( ):
Aqui estamos medindo a “taxa de variação média” entre dois pontos.
- Diferença dividida de ordem superior (recursiva). Por exemplo, de segunda ordem:
Em geral,
Interpretação prática: no polinômio de Newton, a diferença dividida de ordem
aparece como coeficiente do termo
.
Passo 3
Cálculo das diferenças divididas de primeira ordem (mostrando contas).
Calculo usando os dados:
(Arredondei as cotas a seis casas decimais para clareza:
,
,
,
.)
Passo 4
Cálculo das diferenças divididas de segunda ordem (com as contas).
Usamos a fórmula recursiva com espaçamentos apropriados:
(Arredondei a seis casas decimais:
,
,
.)
Passo 5
Cálculo das diferenças divididas de terceira ordem.
(Arredondei:
e
.)
Passo 6
Cálculo da diferença dividida de quarta ordem (única possível com 5 pontos):
(Arredondei a
.)
Resumo numérico das diferenças divididas obtidas (poderia ser colocadas em tabela):
Passo 7
As duas expressões do polinômio interpolador em forma de Newton (resposta da parte (a)).
- Forma de Newton “progressiva” (centrada em
):
Usando os coeficientes calculados, explicitamente:
- Forma de Newton “regressiva” (centrada em
, escrevendo em potências ):
onde as diferenças divididas aparecem na ordem reversa (essas diferenças podem ser obtidas da tabela acima reordenando os índices). Essa é a segunda expressão pedida: o mesmo polinômio escrito com termos centrados em
.
(Observação: ambas as formas representam o mesmo polinômio interpolador único de grau
.)
Passo 8
Escolha dos pontos e construção do polinômio de grau 2 para estimar
— parte (b).
Justificativa da escolha: para estimar
é melhor escolher três pontos mais próximos de
para reduzir o erro do polinômio quadrático. Os três nós mais próximos são
,
,
. Vou usar a forma de Newton centrada em
com os coeficientes já calculados de ordem 0,1 e 2.
Polinômio de Newton de grau 2 (usando
):
Substituindo números:
Avaliação em
:
Calcule
e
.
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
.
Somando:
Portanto a estimativa pedida é
(arredondando,
).
Passo 9
Resposta à Q.5 (intuição e justificativa).
Se
é um polinômio de grau
, então qualquer interpolador construído sobre quaisquer
pontos distintos reproduz exatamente
. Na forma de Newton, o coeficiente da diferença dividida de ordem
é o coeficiente do termo de grau
no polinômio expandido. Como
tem grau
, coeficientes de graus
são nulos. Portanto, para qualquer conjunto de nós distintos com
,
Aplicando isso para
(lembrando que
), obtemos
Outra maneira de ver: a diferença dividida de ordem
é proporcional ao coeficiente do termo de grau
do polinômio interpolador único de grau
; se
tem grau menor que
, esse coeficiente é zero.
Resposta
(a)
\n
e
.
(b)
.
Q.5)
.