Q.4) Construa as diferenças divididas associadas à tabela abaixo e responda:
\boldsymbol{i} \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{y}_{\boldsymbol{i}} \Delta \boldsymbol{y}_{\boldsymbol{i}} \Delta^{\mathbf{2}} \boldsymbol{y}_{\boldsymbol{i}} \Delta^{\mathbf{3}} \boldsymbol{y}_{\boldsymbol{i}} \Delta^{\mathbf{4}} \boldsymbol{y}_{\boldsymbol{i}}
0 1,0 0,7651
1 1,3 0,6200
2 1,6 0,4554
3 1,9 0,2818
4 2,2 0,1104
(a) A tabela de diferenças divididas permite escrever o (único) polinômio interpolador dos cinco pontos \left\{\left(x_{i}, y_{i}\right): i=0,1, \ldots, 4\right\} por meio de duas expressões. Quais são elas ?
(b) Estime o valor da função f(x) em x=1,2, por meio de um polinômio de Newton de grau 2, considerando a escolha apropriada dos pontos de interpolação.
Q.5) Seja f(x) um polinômio de grau p. Considere k pontos \left\{\left(x_{i}, f\left(x_{i}\right)\right): i=0,1, \ldots, k-1\right\}, onde k \geq p+2, tais que x_{i} \neq x_{j} para i \neq j. Qual é o valor das diferenças divididas f\left[x_{0}, \ldots, x_{p+1}\right], \ldots, f\left[x_{0}, \ldots, x_{k-1}\right] ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá cinco pontos e pede duas coisas principais: (i) construir as diferenças divididas associadas à tabela e escrever as duas expressões do polinômio interpolador em forma de Newton; (ii) estimar f(1,2) usando um polinômio de Newton de grau 2 com escolha apropriada dos pontos. Além disso há a questão Q.5, que pede o valor de diferenças divididas de ordem \ge p+1 quando f é um polinômio de grau p.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{ll} x_0=1,0 & y_0=0,7651\\[4pt] x_1=1,3 & y_1=0,6200\\[4pt] x_2=1,6 & y_2=0,4554\\[4pt] x_3=1,9 & y_3=0,2818\\[4pt] x_4=2,2 & y_4=0,1104 \end{array}
O que vou fazer a seguir: definir a diferença dividida, calcular todas as diferenças divididas necessárias (ordens 1 a 4) explicando cada passo, escrever as duas formas do polinômio de Newton usando essas diferenças, escolher os três pontos mais apropriados para estimar f(1,2) por um polinômio quadrático e calcular a estimativa, e finalmente responder Q.5 com justificativa.]

Passo 2

Definição e fórmula prática das diferenças divididas (aula rápida e prática).
  • Diferença dividida de ordem 0:
f[x_i]=f(x_i)=y_i.
Cada valor y_i é uma diferença dividida de ordem zero.
  • Diferença dividida de primeira ordem entre x_i e x_j ( i\neq j):
f[x_i,x_j]=\frac{f[x_j]-f[x_i]}{x_j-x_i}=\frac{y_j-y_i}{x_j-x_i}.
Aqui estamos medindo a “taxa de variação média” entre dois pontos.
  • Diferença dividida de ordem superior (recursiva). Por exemplo, de segunda ordem:
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}.
Em geral,
f[x_i,\dots,x_{i+m}]=\frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+m}]-f[x_i,\dots,x_{i+m-1}]}{x_{i+m}-x_i}.
Interpretação prática: no polinômio de Newton, a diferença dividida de ordem m aparece como coeficiente do termo (x-x_i)(x-x_{i+1})\cdots(x-x_{i+m-1}).

Passo 3

Cálculo das diferenças divididas de primeira ordem (mostrando contas).
Calculo usando os dados:
f[x_0,x_1]=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{0,6200-0,7651}{1,3-1,0}=\frac{-0,1451}{0,3}=-0,483667.
f[x_1,x_2]=\frac{0,4554-0,6200}{1,6-1,3}=\frac{-0,1646}{0,3}=-0,548667.
f[x_2,x_3]=\frac{0,2818-0,4554}{1,9-1,6}=\frac{-0,1736}{0,3}=-0,578667.
f[x_3,x_4]=\frac{0,1104-0,2818}{2,2-1,9}=\frac{-0,1714}{0,3}=-0,571333.
(Arredondei as cotas a seis casas decimais para clareza: -0,483667, -0,548667, -0,578667, -0,571333.)

Passo 4

Cálculo das diferenças divididas de segunda ordem (com as contas).
Usamos a fórmula recursiva com espaçamentos apropriados:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{-0,548667-(-0,483667)}{1,6-1,0}=\frac{-0,065000}{0,6}=-0,108333.
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{-0,578667-(-0,548667)}{1,9-1,3}=\frac{-0,030000}{0,6}=-0,050000.
f[x_2,x_3,x_4]=\frac{-0,571333-(-0,578667)}{2,2-1,6}=\frac{0,007334}{0,6}=0,012222.
(Arredondei a seis casas decimais: -0,108333, -0,050000, 0,012222.)

Passo 5

Cálculo das diferenças divididas de terceira ordem.
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}=\frac{-0,050000-(-0,108333)}{1,9-1,0}=\frac{0,058333}{0,9}=0,064815.
f[x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_2,x_3,x_4]-f[x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_1}=\frac{0,012222-(-0,050000)}{2,2-1,3}=\frac{0,062222}{0,9}=0,069136.
(Arredondei: 0,064815 e 0,069136.)

Passo 6

Cálculo da diferença dividida de quarta ordem (única possível com 5 pontos):
f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_1,x_2,x_3,x_4]-f[x_0,x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_0}=\frac{0,069136-0,064815}{2,2-1,0}=\frac{0,004321}{1,2}=0,003601.
(Arredondei a 0,003601.)
Resumo numérico das diferenças divididas obtidas (poderia ser colocadas em tabela):
\begin{array}{ll} f[x_0]=0,7651,& f[x_0,x_1]=-0,483667,\\[2pt] f[x_1]=0,6200,& f[x_1,x_2]=-0,548667,\\[2pt] f[x_2]=0,4554,& f[x_2,x_3]=-0,578667,\\[2pt] f[x_3]=0,2818,& f[x_3,x_4]=-0,571333,\\[2pt] & f[x_0,x_1,x_2]=-0,108333,\\[2pt] & f[x_1,x_2,x_3]=-0,050000,\\[2pt] & f[x_2,x_3,x_4]=0,012222,\\[2pt] & f[x_0,x_1,x_2,x_3]=0,064815,\\[2pt] & f[x_1,x_2,x_3,x_4]=0,069136,\\[2pt] & f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]=0,003601. \end{array}]

Passo 7

As duas expressões do polinômio interpolador em forma de Newton (resposta da parte (a)).
  • Forma de Newton “progressiva” (centrada em x_0):
\displaystyle P_4(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots+f[x_0,\dots,x_4](x-x_0)\cdots(x-x_3).
Usando os coeficientes calculados, explicitamente:
\begin{aligned} P_4(x) &=0,7651-0,483667(x-1,0)-0,108333(x-1,0)(x-1,3)\\\ &\qquad +0,064815(x-1,0)(x-1,3)(x-1,6)\\\ &\qquad +0,003601(x-1,0)(x-1,3)(x-1,6)(x-1,9). \end{aligned}
  • Forma de Newton “regressiva” (centrada em x_4, escrevendo em potências (x-x_4)):
\displaystyle P_4(x)=f[x_4]+f[x_4,x_3](x-x_4)+f[x_4,x_3,x_2](x-x_4)(x-x_3)+\cdots+f[x_4,\dots,x_0](x-x_4)\cdots(x-x_1),
onde as diferenças divididas aparecem na ordem reversa (essas diferenças podem ser obtidas da tabela acima reordenando os índices). Essa é a segunda expressão pedida: o mesmo polinômio escrito com termos centrados em x_4.
(Observação: ambas as formas representam o mesmo polinômio interpolador único de grau \le 4.)

Passo 8

Escolha dos pontos e construção do polinômio de grau 2 para estimar f(1,2) — parte (b).
Justificativa da escolha: para estimar f(1,2) é melhor escolher três pontos mais próximos de x=1,2 para reduzir o erro do polinômio quadrático. Os três nós mais próximos são x_0=1,0, x_1=1,3, x_2=1,6. Vou usar a forma de Newton centrada em x_0=1,0 com os coeficientes já calculados de ordem 0,1 e 2.
Polinômio de Newton de grau 2 (usando x_0,x_1,x_2):
P_2(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1).
Substituindo números:
P_2(x)=0,7651-0,483667(x-1,0)-0,108333(x-1,0)(x-1,3).
Avaliação em x=1,2:
Calcule x-x_0=1,2-1,0=0,2 e x-x_1=1,2-1,3=-0,1.
  • Primeiro termo: 0,7651.
  • Segundo termo: -0,483667\cdot 0,2=-0,0967334.
  • Terceiro termo: -0,108333\cdot(0,2\cdot -0,1)=-0,108333\cdot(-0,02)=0,0021667.
Somando:
P_2(1,2)=0,7651-0,0967334+0,0021667=0,6705333\\ (\text{aprox.}).
Portanto a estimativa pedida é f(1,2)\approx 0,6705333 (arredondando, 0,67053).

Passo 9

Resposta à Q.5 (intuição e justificativa).
Se f é um polinômio de grau p, então qualquer interpolador construído sobre quaisquer p+1 pontos distintos reproduz exatamente f. Na forma de Newton, o coeficiente da diferença dividida de ordem m é o coeficiente do termo de grau m no polinômio expandido. Como f tem grau p, coeficientes de graus p+1,p+2,\dots são nulos. Portanto, para qualquer conjunto de nós distintos com m\ge p+1,
f[x_0,\dots,x_m]=0.
Aplicando isso para m=p+1,\dots,k-1 (lembrando que k\ge p+2), obtemos
f[x_0,\ldots,x_{p+1}]=\cdots=f[x_0,\ldots,x_{k-1}]=0.
Outra maneira de ver: a diferença dividida de ordem m é proporcional ao coeficiente do termo de grau m do polinômio interpolador único de grau \le m; se f tem grau menor que m, esse coeficiente é zero.

Resposta

(a) \displaystyle P_4(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)+f[x_0,\dots,x_4](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\n \displaystyle e \displaystyle P_4(x)=f[x_4]+f[x_4,x_3](x-x_4)+f[x_4,x_3,x_2](x-x_4)(x-x_3)+\cdots+f[x_4,\dots,x_0](x-x_4)\cdots(x-x_1).
(b) f(1,2)\approx 0,6705333.
Q.5) f[x_0,\ldots,x_{p+1}]=\cdots=f[x_0,\ldots,x_{k-1}]=0.

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