Se \vec{u}=\alpha \vec{v}, \operatorname{com} \alpha \in \mathbb{R}^{*} então:
Obs: uma alternativa assinalada errada, anula uma alternativa certa
Escolha uma ou mais:
\square a. \quad \vec{u} e \vec{v} possuem o MESMO COMPRIMENTO
\square b. \vec{u} e \vec{v} possuem MESMO SENTIDO, se \boldsymbol{\alpha}<\mathbf{0}
\square c. \vec{u} \in \vec{v} possuem MESMO SENTIDO
\square d. \vec{u} e \vec{v} possuem SENTIDOS CONTRÁRIOS
\square e. \vec{u} e \vec{v} possuem MESMA DIREÇÃO
\square f. Comprimento de \vec{u}=\alpha \cdot\|\vec{v}\|
\square g. \vec{u} e \vec{v} possuem SENTIDO CONTRÁRIO, se \alpha<0
\square h. \vec{u} e \vec{v} NÃO possuem MESMA DIREÇÃO
\square i. \vec{u} e \vec{v} possuem SENTIDO CONTRÁRIO, se \alpha>0
\square j. Comprimento de \vec{u}=|\alpha| \cdot| | \vec{v}| |
\square k. \vec{u} e \vec{v} possuem MESMO SENTIDO, se \boldsymbol{\alpha}>0

Passo 1

O enunciado dá que \vec{u}=\alpha\vec{v} com \alpha\in\mathbb{R}^* (isto é, \alpha é real e diferente de zero).
A tarefa é decidir, entre as alternativas (a) a (k), quais são verdadeiras dado esse fato.
Informações relevantes extraídas do enunciado: \vec{u} é múltiplo escalar de \vec{v} e \alpha\neq 0.

Passo 2

Vamos fixar definições claras (isso é fundamental para a prova; memorizando-as você evita confusão entre termos parecidos).
  • Comprimento (norma): o comprimento de um vetor \vec{w} é denotado por \|\vec{w}\|. É sempre um número não negativo.
    Ex.: se \vec{w}=(w_1,w_2) em \mathbb{R}^2, então \|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2}.
  • Direção: a direção de um vetor é a reta (orientação geométrica) ao longo da qual ele aponta. Dois vetores não-nulos têm a mesma direção se são colineares (estão sobre a mesma reta ou em retas paralelas — aqui, sendo múltiplos, é a mesma reta).
  • Sentido: o sentido distingue se os vetores apontam para o mesmo “lado” ao longo dessa direção. Dois vetores têm mesmo sentido se, além de terem a mesma direção, apontam para o mesmo lado; têm sentido contrário se apontam para lados opostos.
Essas definições vão nos ajudar a analisar cada alternativa.

Passo 3

Propriedade básica de múltiplos escalares (a que usamos sempre em prova):
Se \vec{u}=\alpha\vec{v} então \vec{u} e \vec{v} são colineares (estão sobre a mesma reta), porque \vec{u} é obtido alongando/encolhendo e possivelmente invertendo \vec{v}. Daí segue imediatamente que eles têm a mesma direção (o mesmo eixo/linha), independentemente do sinal de \alpha.
Conclusão útil já aqui: a alternativa que diz “possuem mesma direção” é verdadeira.

Passo 4

Como decidir o sentido a partir de \alpha:
  • Se \alpha>0: \vec{u} é uma versão alongada/encolhida de \vec{v} sem inverter, então \vec{u} e \vec{v} têm o mesmo sentido.
  • Se \alpha<0: \vec{u} é \vec{v} multiplicado por um número negativo, ou seja, além de alterar o módulo, inverte a orientação; portanto \vec{u} e \vec{v} têm sentido contrário.
Exemplo numérico simples: tome \vec{v}=(1,0).
Se \alpha=2>0 então \vec{u}=(2,0) (mesmo sentido, para a direita).
Se \alpha=-1 então \vec{u}=(-1,0) (sentido contrário, para a esquerda).

Passo 5

Relação entre comprimentos (normas). Vou provar a fórmula usada em provas:
Considere \vec{u}=\alpha\vec{v}. Pelo produto escalar (ou pela definição de norma em coordenadas),
\|\vec{u}\|^2 = \vec{u}\cdot\vec{u} = (\alpha\vec{v})\cdot(\alpha\vec{v}) = \alpha^2(\vec{v}\cdot\vec{v}) = \alpha^2\|\vec{v}\|^2.
Extraindo raiz não-negativa,
\|\vec{u}\| = \sqrt{\alpha^2}\,\|\vec{v}\| = |\alpha|\,\|\vec{v}\|.
Portanto a relação correta é \|\vec{u}\| = |\alpha|\,\|\vec{v}\|. Observe que se usássemos só \alpha (sem valor absoluto) o lado pode ficar negativo quando \alpha<0, o que não faz sentido para normas — por isso o valor absoluto é obrigatório.

Passo 6

Agora vamos avaliar cada alternativa com base nos passos anteriores. Vou justificar cada decisão curtamente.
a. " \vec{u} e \vec{v} possuem o MESMO COMPRIMENTO."
R: Falsa. Em geral \|\vec{u}\|=|\alpha|\,\|\vec{v}\|, só é igual a \|\vec{v}\| quando |\alpha|=1. Não é verdade para todo \alpha.
b. " \vec{u} e \vec{v} possuem MESMO SENTIDO, se \alpha<0."
R: Falsa. Se \alpha<0 o sentido é contrário (inversão). O correto seria “mesmo sentido se \alpha>0”.
c. " \vec{u} e \vec{v} possuem MESMO SENTIDO." (sem condição)
R: Falsa. Depende do sinal de \alpha; não é verdade sem condicional.
d. " \vec{u} e \vec{v} possuem SENTIDOS CONTRÁRIOS." (sem condição)
R: Falsa. Só acontece quando \alpha<0.
e. " \vec{u} e \vec{v} possuem MESMA DIREÇÃO."
R: Verdadeira. Como \vec{u} é múltiplo escalar de \vec{v}, são colineares; portanto têm a mesma direção (a direção é a reta/linha, independente de sinal).
f. “Comprimento de \vec{u}=\alpha \cdot\|\vec{v}\|.”
R: Falsa. Falta o valor absoluto; a expressão correta é \|\vec{u}\|=|\alpha|\,\|\vec{v}\|.
g. " \vec{u} e \vec{v} possuem SENTIDO CONTRÁRIO, se \alpha<0."
R: Verdadeira. Pelo raciocínio do Passo 4, um \alpha negativo inverte o sentido.
h. " \vec{u} e \vec{v} NÃO possuem MESMA DIREÇÃO."
R: Falsa. Pelo Passo 3 e 5, eles têm mesma direção.
i. " \vec{u} e \vec{v} possuem SENTIDO CONTRÁRIO, se \alpha>0."
R: Falsa. Para \alpha>0 eles têm mesmo sentido.
j. "Comprimento de \vec{u}=|\alpha| \cdot| | \vec{v}| |." R: Interpreto isso como a tentativa de escrever \(\|\vec{u}\| = |\alpha|\,\|\vec{v}\|. Sendo essa a interpretação, é Verdadeira (é exatamente a fórmula correta). Observação: a notação no enunciado está estranha (barras duplas), mas supondo que quer dizer o valor absoluto de \alpha vezes a norma de \vec{v}, a afirmação é correta.
k. " \vec{u} e \vec{v} possuem MESMO SENTIDO, se \alpha>0."
R: Verdadeira. Corolário direto do Passo 4.)

Passo 7

Resumo final das alternativas verdadeiras: as corretas são as que afirmam mesma direção, sentido contrário quando \alpha<0, relação de norma com valor absoluto, e mesmo sentido quando \alpha>0.

Resposta

e
g
j
k

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