Se
então:
Obs: uma alternativa assinalada errada, anula uma alternativa certa
Escolha uma ou mais:
a.
e
possuem o MESMO COMPRIMENTO
b.
e
possuem MESMO SENTIDO, se
c.
possuem MESMO SENTIDO
d.
e
possuem SENTIDOS CONTRÁRIOS
e.
e
possuem MESMA DIREÇÃO
f. Comprimento de
g.
e
possuem SENTIDO CONTRÁRIO, se
h.
e
NÃO possuem MESMA DIREÇÃO
i.
e
possuem SENTIDO CONTRÁRIO, se
j. Comprimento de
k.
e
possuem MESMO SENTIDO, se
Passo 1
O enunciado dá que
com
(isto é,
é real e diferente de zero).
A tarefa é decidir, entre as alternativas (a) a (k), quais são verdadeiras dado esse fato.
Informações relevantes extraídas do enunciado: é múltiplo escalar de
e
.
A tarefa é decidir, entre as alternativas (a) a (k), quais são verdadeiras dado esse fato.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos fixar definições claras (isso é fundamental para a prova; memorizando-as você evita confusão entre termos parecidos).
-
Comprimento (norma): o comprimento de um vetor
é denotado por . É sempre um número não negativo.
Ex.: seem , então . -
Direção: a direção de um vetor é a reta (orientação geométrica) ao longo da qual ele aponta. Dois vetores não-nulos têm a mesma direção se são colineares (estão sobre a mesma reta ou em retas paralelas — aqui, sendo múltiplos, é a mesma reta).
-
Sentido: o sentido distingue se os vetores apontam para o mesmo “lado” ao longo dessa direção. Dois vetores têm mesmo sentido se, além de terem a mesma direção, apontam para o mesmo lado; têm sentido contrário se apontam para lados opostos.
Essas definições vão nos ajudar a analisar cada alternativa.
Passo 3
Propriedade básica de múltiplos escalares (a que usamos sempre em prova):
Se
então
e
são colineares (estão sobre a mesma reta), porque
é obtido alongando/encolhendo e possivelmente invertendo
. Daí segue imediatamente que eles têm a mesma direção (o mesmo eixo/linha), independentemente do sinal de
.
Conclusão útil já aqui: a alternativa que diz “possuem mesma direção” é verdadeira.
Passo 4
Como decidir o sentido a partir de
:
-
Se
: é uma versão alongada/encolhida de sem inverter, então e têm o mesmo sentido. -
Se
: é multiplicado por um número negativo, ou seja, além de alterar o módulo, inverte a orientação; portanto e têm sentido contrário.
Exemplo numérico simples: tome
.
Se então
(mesmo sentido, para a direita).
Se então
(sentido contrário, para a esquerda).
Se
Se
Passo 5
Relação entre comprimentos (normas). Vou provar a fórmula usada em provas:
Considere
. Pelo produto escalar (ou pela definição de norma em coordenadas),
Extraindo raiz não-negativa,
Portanto a relação correta é
. Observe que se usássemos só
(sem valor absoluto) o lado pode ficar negativo quando
, o que não faz sentido para normas — por isso o valor absoluto é obrigatório.
Passo 6
Agora vamos avaliar cada alternativa com base nos passos anteriores. Vou justificar cada decisão curtamente.
a. "
e
possuem o MESMO COMPRIMENTO."
R: Falsa. Em geral , só é igual a
quando
. Não é verdade para todo
.
R: Falsa. Em geral
b. "
e
possuem MESMO SENTIDO, se
."
R: Falsa. Se o sentido é contrário (inversão). O correto seria “mesmo sentido se
”.
R: Falsa. Se
c. "
e
possuem MESMO SENTIDO." (sem condição)
R: Falsa. Depende do sinal de ; não é verdade sem condicional.
R: Falsa. Depende do sinal de
d. "
e
possuem SENTIDOS CONTRÁRIOS." (sem condição)
R: Falsa. Só acontece quando .
R: Falsa. Só acontece quando
e. "
e
possuem MESMA DIREÇÃO."
R: Verdadeira. Como é múltiplo escalar de
, são colineares; portanto têm a mesma direção (a direção é a reta/linha, independente de sinal).
R: Verdadeira. Como
f. “Comprimento de
.”
R: Falsa. Falta o valor absoluto; a expressão correta é .
R: Falsa. Falta o valor absoluto; a expressão correta é
g. "
e
possuem SENTIDO CONTRÁRIO, se
."
R: Verdadeira. Pelo raciocínio do Passo 4, um negativo inverte o sentido.
R: Verdadeira. Pelo raciocínio do Passo 4, um
h. "
e
NÃO possuem MESMA DIREÇÃO."
R: Falsa. Pelo Passo 3 e 5, eles têm mesma direção.
R: Falsa. Pelo Passo 3 e 5, eles têm mesma direção.
i. "
e
possuem SENTIDO CONTRÁRIO, se
."
R: Falsa. Para eles têm mesmo sentido.
R: Falsa. Para
j. "Comprimento de
. Sendo essa a interpretação, é Verdadeira (é exatamente a fórmula correta). Observação: a notação no enunciado está estranha (barras duplas), mas supondo que quer dizer o valor absoluto de
vezes a norma de
, a afirmação é correta.
k. "
e
possuem MESMO SENTIDO, se
."
R: Verdadeira. Corolário direto do Passo 4.)
R: Verdadeira. Corolário direto do Passo 4.)
Passo 7
Resumo final das alternativas verdadeiras:
as corretas são as que afirmam mesma direção, sentido contrário quando
, relação de norma com valor absoluto, e mesmo sentido quando
.
Resposta
e
g
j
k
g
j
k