Considere o potencial dado por
.
em que
(iii) Depois da expansão, identifique o termo que dá a contribuição de dipolo e mostre que esse termo pode ser escrito como
em que
(iii) Depois da expansão, identifique o termo que dá a contribuição de dipolo e mostre que esse termo pode ser escrito como
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma expressão para o potencial elétrico $ V(\mathbf{r}) $ que envolve uma integral sobre a distribuição de carga $ \rho(\mathbf{r}’) $. O objetivo aqui é, depois de expandir essa expressão, identificar o termo que representa o dipolo elétrico e mostrar que esse termo pode ser escrito como:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a expansão multipolar do potencial elétrico, especialmente o termo do dipolo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um potencial elétrico. O potencial $ V(\mathbf{r}) $ em um ponto $ \mathbf{r} $ devido a uma distribuição de carga $ \rho(\mathbf{r}’) $ é dado por:
Aqui, $ |\mathbf{r} - \mathbf{r}’| $ é a distância entre o ponto onde estamos calculando o potencial e o ponto $ \mathbf{r}’ $ da distribuição de carga.
Passo 3
A expressão dada na questão para $ r^{2} $ é:
Na verdade, essa parece ser a expressão para $ |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|^{2} $ usando o teorema do cosseno, onde $ \theta’ $ é o ângulo entre $ \mathbf{r} $ e $ \mathbf{r}’ $.
Então, podemos reescrever $ |\mathbf{r} - \mathbf{r}’| $ como:
Passo 4
Para expandir $ \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} $ em séries, assumimos que $ r’ < r $ (ou seja, estamos olhando para pontos $ \mathbf{r}’ $ próximos da origem comparados a $ \mathbf{r} $). Assim, usamos a expansão em série de Legendre:
Onde $ P_{l} $ são os polinômios de Legendre.
Passo 5
Vamos substituir essa expansão na expressão do potencial:
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (desde que a série convirja):
Passo 6
Agora, cada termo dessa série representa um momento multipolar. O primeiro termo (quando $ l=0 $) é o monopolo, o segundo (quando $ l=1 $) é o dipolo, e assim por diante.
Focando no termo do dipolo ($ l=1 $):
Sabemos que $ P_{1}(\cos \theta’) = \cos \theta’ $, então:
Passo 7
O momento dipolar elétrico $ \mathbf{p} $ é definido como:
A componente do dipolo na direção de $ \mathbf{r} $ é $ \mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}} $, onde $ \hat{\mathbf{r}} $ é o vetor unitário na direção de $ \mathbf{r} $.
Então, podemos reescrever a integral do potencial do dipolo como:
Passo 8
Substituindo essa expressão na equação do potencial do dipolo:
Resposta
Portanto, o termo que representa a contribuição do dipolo no potencial elétrico é: