Considere o potencial dado por V(r)=14 pi epsilon0 integral 1r rho(r^prime) d tau^prime.
em que
r^2=r^2+(r^prime)^2-2 r r^prime cos theta^prime

(i) Tome a raiz quadrada e faça uma expansão binomial para r menor do que r e mostre que o potencial V(r) pode ser escrito em termos dos polinômios de Legendre como
V(r)=14 pi epsilon0 sumn=0^infty 1r^(n+1) integral(r^prime)^n Pn(cos theta^prime) rho(r^prime) d tau^prime

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um potencial elétrico $ V(\mathbf{r}) $ definido pela integral:
V(r)
A equação fornecida para $ r^2 $ é:
V(r) = 14 pi epsilon0 integral 1|r - r'| rho(r') , dtau'
O que precisamos fazer é tirar a raiz quadrada dessa expressão e expandir usando o binômio quando $ r < r’ $. Depois, mostrar que o potencial $ V(\mathbf{r}) $ pode ser escrito em termos dos polinômios de Legendre $ P_n(\cos \theta’) $ da forma apresentada. Para isso, vamos precisar entender expansões em séries e os polinômios de Legendre, que são ferramentas matemáticas usadas para simplificar integrais envolvendo funções esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tirar a raiz quadrada da expressão para encontrar $ |\mathbf{r} - \mathbf{r}’| $:
|r - r'|
Essa expressão representa a distância entre os pontos $ \mathbf{r} $ e $ \mathbf{r}’ $ em coordenadas esféricas, onde $ \theta’ $ é o ângulo entre os vetores $ \mathbf{r} $ e $ \mathbf{r}’ $.

Passo 3

Agora, queremos expandir $ \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} $ usando uma série binomial, assumindo que $ r < r’ $. Isso significa que $ r/r’ $ é uma quantidade menor que 1, o que é necessário para que a série convirja.
Reescrevemos a expressão da distância como:
1|r - r'|
Agora, a expressão dentro da raiz pode ser escrita como $ \sqrt{1 + \epsilon} $, onde $ \epsilon = \left(\frac{r}{r’}\right)^2 - 2 \left(\frac{r}{r’}\right) \cos \theta’ $. Para $ r < r’ $, $ \epsilon $ é pequeno, então podemos expandir usando a série binomial:
r < r'

Passo 4

Aplicando essa expansão na expressão de $ \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} $:
1|r - r'|
Usando a expansão binomial:
1|r - r'| = 1r' (1 + (rr')^2 - 2 (rr') cos theta')^-1/2
Aqui, $ P_n(\cos \theta’) $ são os polinômios de Legendre, que aparecem naturalmente nessa expansão devido à dependência angular da expressão.

Passo 5

Agora, substituímos essa expansão na expressão do potencial $ V(\mathbf{r}) $:
V(r)
Distribuindo a integral:
V(r) = 14 pi epsilon0 integral 1|r - r'| rho(r') , dtau' approx 14 pi epsilon0 integral 1r' [1 + sumn=1^infty (rr')^n Pn(cos theta')] rho(r') , dtau'

Passo 6

Observamos que podemos reescrever a série começando do $ n=0 $, onde $ P_0(\cos \theta’) = 1 $. Assim, a expressão fica:
n=0
Isso porque cada termo da série agora está organizado de forma que $ \left(\frac{r}{r’}\right)^n $ se transforma em $ \frac{1}{r^{n+1}} r’^n $.

Resposta

Portanto, mostramos que o potencial elétrico $ V(\mathbf{r}) $ pode ser expresso em termos dos polinômios de Legendre da seguinte forma:
V(r)

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