Considere o potencial dado por
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em que
(i) Tome a raiz quadrada e faça uma expansão binomial para r menor do que r e mostre que o potencial
pode ser escrito em termos dos polinômios de Legendre como
em que
(i) Tome a raiz quadrada e faça uma expansão binomial para r menor do que r e mostre que o potencial
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um potencial elétrico $ V(\mathbf{r}) $ definido pela integral:
A equação fornecida para $ r^2 $ é:
O que precisamos fazer é tirar a raiz quadrada dessa expressão e expandir usando o binômio quando $ r < r’ $. Depois, mostrar que o potencial $ V(\mathbf{r}) $ pode ser escrito em termos dos polinômios de Legendre $ P_n(\cos \theta’) $ da forma apresentada. Para isso, vamos precisar entender expansões em séries e os polinômios de Legendre, que são ferramentas matemáticas usadas para simplificar integrais envolvendo funções esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos tirar a raiz quadrada da expressão para encontrar $ |\mathbf{r} - \mathbf{r}’| $:
Essa expressão representa a distância entre os pontos $ \mathbf{r} $ e $ \mathbf{r}’ $ em coordenadas esféricas, onde $ \theta’ $ é o ângulo entre os vetores $ \mathbf{r} $ e $ \mathbf{r}’ $.
Passo 3
Agora, queremos expandir $ \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} $ usando uma série binomial, assumindo que $ r < r’ $. Isso significa que $ r/r’ $ é uma quantidade menor que 1, o que é necessário para que a série convirja.
Reescrevemos a expressão da distância como:
Agora, a expressão dentro da raiz pode ser escrita como $ \sqrt{1 + \epsilon} $, onde $ \epsilon = \left(\frac{r}{r’}\right)^2 - 2 \left(\frac{r}{r’}\right) \cos \theta’ $. Para $ r < r’ $, $ \epsilon $ é pequeno, então podemos expandir usando a série binomial:
Passo 4
Aplicando essa expansão na expressão de $ \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} $:
Usando a expansão binomial:
Aqui, $ P_n(\cos \theta’) $ são os polinômios de Legendre, que aparecem naturalmente nessa expansão devido à dependência angular da expressão.
Passo 5
Agora, substituímos essa expansão na expressão do potencial $ V(\mathbf{r}) $:
Distribuindo a integral:
Passo 6
Observamos que podemos reescrever a série começando do $ n=0 $, onde $ P_0(\cos \theta’) = 1 $. Assim, a expressão fica:
Isso porque cada termo da série agora está organizado de forma que $ \left(\frac{r}{r’}\right)^n $ se transforma em $ \frac{1}{r^{n+1}} r’^n $.
Resposta
Portanto, mostramos que o potencial elétrico $ V(\mathbf{r}) $ pode ser expresso em termos dos polinômios de Legendre da seguinte forma: