Considere o potencial dado por
.
em que
(ii) Faça uma expansão na expressão acima e identifique os termos de monopolo, de dipolo e de quadrupolo.
em que
(ii) Faça uma expansão na expressão acima e identifique os termos de monopolo, de dipolo e de quadrupolo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que trabalhar com um potencial elétrico definido pela expressão:
E também temos a relação:
O objetivo é expandir essa expressão do potencial e identificar os termos de monopolo, dipolo e quadrupolo. Vamos usar conceitos de expansão multipolar na eletrostática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos simplificar a expressão para $ \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} $. A relação dada nos ajuda a expressar essa distância:
Quando $ r’ < r $, que geralmente é o caso para expansões multipolares, podemos usar a série de expansão de Legendre para $ \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} $:
Aqui, $ P_{l} $ são os polinômios de Legendre.
Passo 3
Agora, substituímos essa expansão na expressão do potencial:
Podemos trocar a soma e a integral (desde que a série convirja):
Passo 4
Agora, vamos identificar os termos até o quadrupolo ( $ l = 2 $ ). Vamos analisar cada termo:
- Monopolo ($ l = 0 $):
Onde $ Q $ é a carga total.
- Dipolo ($ l = 1 $):
Onde $ \mathbf{p} $ é o momento dipolar.
- Quadrupolo ($ l = 2 $):
Esse termo envolve o tensor quadrupolar.
Passo 5
Então, juntando tudo, a expansão do potencial até o quadrupolo fica:
Onde $ Q_{ij} $ representa os componentes do tensor quadrupolar.
Resposta
A expansão do potencial $ V(\mathbf{r}) $ identificando os termos de monopolo, dipolo e quadrupolo é dada por:
Onde:
- $ Q $ é a carga total (monopolo),
- $ \mathbf{p} $ é o momento dipolar,
- $ Q_{ij} $ são os componentes do tensor quadrupolar.