Considere o potencial dado por V(r)=14 pi epsilon0 integral 1r rho(r^prime) d tau^prime.
em que
r^2=r^2+(r^prime)^2-2 r r^prime cos theta^prime

(ii) Faça uma expansão na expressão acima e identifique os termos de monopolo, de dipolo e de quadrupolo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que trabalhar com um potencial elétrico definido pela expressão:
V(r)=14 pi epsilon0 integral 1r rho(r^prime) d tau^prime
E também temos a relação:
r^2=r^2+(r^prime)^2-2 r r^prime cos theta^prime
O objetivo é expandir essa expressão do potencial e identificar os termos de monopolo, dipolo e quadrupolo. Vamos usar conceitos de expansão multipolar na eletrostática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos simplificar a expressão para $ \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} $. A relação dada nos ajuda a expressar essa distância:
1|r - r'|
Quando $ r’ < r $, que geralmente é o caso para expansões multipolares, podemos usar a série de expansão de Legendre para $ \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} $:
|r - r'| = raizr^2 + (r')^2 - 2 r r' cos theta'
Aqui, $ P_{l} $ são os polinômios de Legendre.

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na expressão do potencial:
V(r) = 14 pi epsilon0 integral 1r suml=0^infty ( r'r )^l Pl(cos theta') rho(r') d tau'
Podemos trocar a soma e a integral (desde que a série convirja):
V(r) = 14 pi epsilon0 suml=0^infty 1r^l+1 integral r'^l Pl(cos theta') rho(r') d tau'

Passo 4

Agora, vamos identificar os termos até o quadrupolo ( $ l = 2 $ ). Vamos analisar cada termo:
  • Monopolo ($ l = 0 $):
l = 2
Onde $ Q $ é a carga total.
  • Dipolo ($ l = 1 $):
l = 0
Onde $ \mathbf{p} $ é o momento dipolar.
  • Quadrupolo ($ l = 2 $):
V0(r) = 14 pi epsilon0 1r integral rho(r') d tau' = 14 pi epsilon0 Qr
Esse termo envolve o tensor quadrupolar.

Passo 5

Então, juntando tudo, a expansão do potencial até o quadrupolo fica:
Onde $ Q_{ij} $ representa os componentes do tensor quadrupolar.

Resposta

A expansão do potencial $ V(\mathbf{r}) $ identificando os termos de monopolo, dipolo e quadrupolo é dada por:
Onde:
  • $ Q $ é a carga total (monopolo),
  • $ \mathbf{p} $ é o momento dipolar,
  • $ Q_{ij} $ são os componentes do tensor quadrupolar.

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