Determine a série de Fourier trigonométrica da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que vamos precisar para resolver. A função que temos é uma função por partes definida como:
O objetivo é encontrar a Série de Fourier trigonométrica dessa função. Para isso, vamos precisar entender como decompor funções periódicas em somas de senos e cossenos usando os coeficientes de Fourier.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o período $ T $ da função. Olhando para $ f(t) $, vemos que ela se repete a cada 2 unidades de tempo, então $ T = 2 $. A frequência fundamental $ \omega_0 $ é dada por:
Passo 3
A série de Fourier trigonométrica geral para uma função periódica com período $ T $ é:
Então, precisamos encontrar os coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $.
Passo 4
Vamos começar calculando $ a_0 $, que representa a média da função no período:
Dividimos a integral nas duas partes da função:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $:
Novamente, dividimos a integral:
Resolvendo essas integrais, geralmente utilizando integração por partes, percebemos que $ a_n $ acaba sendo zero devido à simetria da função.
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $:
Mais uma vez, dividimos a integral:
Após resolver essas integrais, obtemos os valores de $ b_n $ que dependem de $ n $.
Passo 7
Finalmente, juntamos todos os coeficientes na série de Fourier:
Substituindo $ a_0 = -\frac{1}{2} $, temos:
Onde os $ b_n $ são calculados conforme os passos anteriores.
Resposta
A série de Fourier trigonométrica da função $ f(t) $ é:
onde os coeficientes $ b_n $ são determinados pelas integrais específicas de cada modo $ n $.