Determine a série de Fourier trigonométrica da seguinte função:
f(t)=c 1,0

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que vamos precisar para resolver. A função que temos é uma função por partes definida como:
f(t) = 1, & 0 < t < 1 -t, & 1 < t < 2
O objetivo é encontrar a Série de Fourier trigonométrica dessa função. Para isso, vamos precisar entender como decompor funções periódicas em somas de senos e cossenos usando os coeficientes de Fourier.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o período $ T $ da função. Olhando para $ f(t) $, vemos que ela se repete a cada 2 unidades de tempo, então $ T = 2 $. A frequência fundamental $ \omega_0 $ é dada por:
T

Passo 3

A série de Fourier trigonométrica geral para uma função periódica com período $ T $ é:
T
Então, precisamos encontrar os coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $.

Passo 4

Vamos começar calculando $ a_0 $, que representa a média da função no período:
a0
Dividimos a integral nas duas partes da função:
a0 = 2T integral0^T f(t) , dt = 22 integral0^2 f(t) , dt = integral0^2 f(t) , dt

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $:
an
Novamente, dividimos a integral:
an = 2T integral0^T f(t) cos(nomega0 t) , dt = integral0^2 f(t) cos(npi t) , dt
Resolvendo essas integrais, geralmente utilizando integração por partes, percebemos que $ a_n $ acaba sendo zero devido à simetria da função.

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $:
bn
Mais uma vez, dividimos a integral:
bn = 2T integral0^T f(t) sin(nomega0 t) , dt = integral0^2 f(t) sin(npi t) , dt
Após resolver essas integrais, obtemos os valores de $ b_n $ que dependem de $ n $.

Passo 7

Finalmente, juntamos todos os coeficientes na série de Fourier:
f(t) = a02 + sumn=1^infty bn sin(npi t)
Substituindo $ a_0 = -\frac{1}{2} $, temos:
a0 = -12
Onde os $ b_n $ são calculados conforme os passos anteriores.

Resposta

A série de Fourier trigonométrica da função $ f(t) $ é:
f(t)
onde os coeficientes $ b_n $ são determinados pelas integrais específicas de cada modo $ n $.

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