Considere o potencial V_{0}(\theta) especificado na superfície de uma esfera oca, de raio R. Encontre o potencial externo à esfera, assumindo que lá não há cargas.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o potencial elétrico no exterior da esfera oca de raio R (ou seja, para r>R), sabendo que sobre a superfície r=R o potencial é dado por V_0(\theta), função apenas do ângulo polar \theta. Foi dito que não há cargas no exterior, portanto o potencial fora da esfera satisfaz a equação de Laplace. Vamos também assumir a condição física usual de que o potencial tende a zero no infinito:
\lim_{r\to\infty}V(r,\theta)=0.
Informações relevantes:
\text{Dado: }V(R,\theta)=V_0(\theta).
\text{Procurar: }V(r,\theta)\quad\text{para }r>R,\\ \nabla^2 V=0,\\ \text{e }V\to0\text{ quando }r\to\infty.

Passo 2

Escrevendo a equação de Laplace em coordenadas esféricas (sem dependência azimutal, porque V_0 depende só de \theta), a equação é
\nabla^{2}V=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial V}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\right)=0.
Vamos usar separação de variáveis: suponha uma solução do tipo
V(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta).
Substituindo na Laplace e dividindo por R\Theta obtemos duas parcelas que dependem separadamente de r e de \theta; isso implica que ambas são iguais a uma constante de separação, que convencionalmente se escolhe como l(l+1). Após manipular chegamos às equações ordinárias:
\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dR}{dr}\right)=l(l+1),
\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)=-l(l+1)\Theta.

Passo 3

A equação angular é a equação de Legendre (para dependência apenas em \theta):
\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+l(l+1)\Theta=0.
As soluções regulares nessa equação são os polinômios de Legendre P_l(\cos\theta). Aqui l deve ser inteiro não-negativo l=0,1,2,\dots. Uma propriedade essencial que usaremos é a ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
\int_{-1}^{1}P_l(\mu)P_{l'}(\mu)\,d\mu=\frac{2}{2l+1}\delta_{ll'},
onde \mu=\cos\theta e \delta_{ll'} é o delta de Kronecker. Em forma de integral sobre \theta isso vira
\int_{0}^{\pi}P_l(\cos\theta)P_{l'}(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta=\frac{2}{2l+1}\delta_{ll'}.
Isto permite extrair coeficientes ao expandir uma função angular em polinômios de Legendre.

Passo 4

Agora resolvemos a equação radial:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dR}{dr}\right)-l(l+1)R=0.
A solução geral desta equação é
R(r)=A_l r^{l}+B_l r^{-(l+1)},
onde A_l e B_l são constantes. Para a região externa r>R precisamos da solução que seja finita e física quando r\to\infty. O termo r^{l} cresce com r (para l\ge1) e violaria a condição V\to0 no infinito, então devemos tomar A_l=0 para todos l\ge0. Assim a parte radial relevante é proporcional a r^{-(l+1)}.

Passo 5

Com isso, a solução mais geral que é regular no infinito e independente de \varphi é a expansão em série de Legendre (soma sobre os modos l):
V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}C_l\, r^{-(l+1)} P_l(\cos\theta).
Para ficar mais claro em termos do raio R da esfera, podemos escrever
V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}C_l\left(\frac{R}{r}\right)^{l+1}P_l(\cos\theta),
onde os C_l são constantes que serão determinadas pela condição de contorno em r=R.

Passo 6

Impondo a condição na superfície r=R,
V(R,\theta)=V_0(\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}C_l P_l(\cos\theta).
Agora usamos a ortogonalidade de P_l para obter os coeficientes C_l. Multiplicamos ambos os lados por P_{l'}(\cos\theta)\sin\theta e integramos \theta de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi}V_0(\theta)P_{l'}(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta =\sum_{l=0}^{\infty}C_l\int_{0}^{\pi}P_l(\cos\theta)P_{l'}(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta.
Pela ortogonalidade só sobrevive o termo l=l', então
\int_{0}^{\pi}V_0(\theta)P_{l'}(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta = C_{l'}\frac{2}{2l'+1}.
Isolando C_{l'} obtemos a fórmula dos coeficientes:
C_l=\frac{2l+1}{2}\int_{0}^{\pi}V_0(\theta)P_l(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta.

Passo 7

Reescrevendo a solução com os coeficientes explicitados, o potencial para r>R é
V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\left[\frac{2l+1}{2}\int_{0}^{\pi}V_0(\theta')P_l(\cos\theta')\sin\theta'\,d\theta'\right]\left(\frac{R}{r}\right)^{l+1}P_l(\cos\theta).
Aqui usei \theta' como variável de integração para não confundir com o \theta onde avaliamos o potencial.

Passo 8

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Se V_0(\theta)=V_{\text{const}} (potencial constante na superfície), então apenas l=0 contribui. Calculando C_0:
C_0=\frac{2\cdot0+1}{2}\int_{0}^{\pi}V_{\text{const}}\cdot 1\cdot\sin\theta\,d\theta=V_{\text{const}}.
Logo
V(r,\theta)=V_{\text{const}}\frac{R}{r}.
  • Se V_0(\theta)=V_1\cos\theta (proporcional a P_1(\cos\theta)), então apenas l=1 contribui e obtemos
V(r,\theta)=V_1\left(\frac{R}{r}\right)^{2}\cos\theta.

Resposta

V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\left[\frac{2l+1}{2}\int_{0}^{\pi}V_0(\theta')P_l(\cos\theta')\sin\theta'\,d\theta'\right]\left(\frac{R}{r}\right)^{l+1}P_l(\cos\theta)

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