Considere o potencial
especificado na superfície de uma esfera oca, de raio
. Encontre o potencial externo à esfera, assumindo que lá não há cargas.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o potencial elétrico no exterior da esfera oca de raio
(ou seja, para
), sabendo que sobre a superfície
o potencial é dado por
, função apenas do ângulo polar
. Foi dito que não há cargas no exterior, portanto o potencial fora da esfera satisfaz a equação de Laplace. Vamos também assumir a condição física usual de que o potencial tende a zero no infinito:
Informações relevantes:
Passo 2
Escrevendo a equação de Laplace em coordenadas esféricas (sem dependência azimutal, porque
depende só de
), a equação é
Vamos usar separação de variáveis: suponha uma solução do tipo
Substituindo na Laplace e dividindo por
obtemos duas parcelas que dependem separadamente de
e de
; isso implica que ambas são iguais a uma constante de separação, que convencionalmente se escolhe como
. Após manipular chegamos às equações ordinárias:
Passo 3
A equação angular é a equação de Legendre (para dependência apenas em
):
As soluções regulares nessa equação são os polinômios de Legendre
. Aqui
deve ser inteiro não-negativo
. Uma propriedade essencial que usaremos é a ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
onde
e
é o delta de Kronecker. Em forma de integral sobre
isso vira
Isto permite extrair coeficientes ao expandir uma função angular em polinômios de Legendre.
Passo 4
Agora resolvemos a equação radial:
A solução geral desta equação é
onde
e
são constantes. Para a região externa
precisamos da solução que seja finita e física quando
. O termo
cresce com
(para
) e violaria a condição
no infinito, então devemos tomar
para todos
. Assim a parte radial relevante é proporcional a
.
Passo 5
Com isso, a solução mais geral que é regular no infinito e independente de
é a expansão em série de Legendre (soma sobre os modos
):
Para ficar mais claro em termos do raio
da esfera, podemos escrever
onde os
são constantes que serão determinadas pela condição de contorno em
.
Passo 6
Impondo a condição na superfície
,
Agora usamos a ortogonalidade de
para obter os coeficientes
. Multiplicamos ambos os lados por
e integramos
de
a
:
Pela ortogonalidade só sobrevive o termo
, então
Isolando
obtemos a fórmula dos coeficientes:
Passo 7
Reescrevendo a solução com os coeficientes explicitados, o potencial para
é
Aqui usei
como variável de integração para não confundir com o
onde avaliamos o potencial.
Passo 8
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- Se
(potencial constante na superfície), então apenas contribui. Calculando :
Logo
- Se
(proporcional a ), então apenas contribui e obtemos