Mostre que a energia de interação de dois dipolos separados por um deslocamento \vec{r} é:
U=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{r^{3}}\left[\vec{p}_{1} \cdot \vec{p}_{2}-3\left(\vec{p}_{1} \cdot \hat{r}\right)\left(\vec{p}_{2} \cdot \hat{r}\right)\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a energia de interação entre dois dipolos separados por um vetor deslocamento é
U=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{r^{3}}\left[\vec{p}_{1} \cdot \vec{p}_{2}-3\left(\vec{p}_{1} \cdot \hat{r}\right)\left(\vec{p}_{2} \cdot \hat{r}\right)\right].
Informações dadas e notação: temos dois dipolos elétricos representados pelos vetores \vec{p}_{1} e \vec{p}_{2}. O vetor que separa o dipolo \vec{p}_{1} (assumido na origem) do dipolo \vec{p}_{2} é \vec{r}, o módulo é r=\lVert \vec{r}\rVert e o versor é \hat{r}=\vec{r}/r. A constante elétrica do meio é \varepsilon_{0}. A tarefa é deduzir a expressão para U.

Passo 2

Plano de ataque (resumido): primeiro vou obter o campo elétrico gerado por um dipolo pontual \vec{p}_{1} num ponto \vec{r} distante; depois uso a fórmula da energia de um dipolo \vec{p}_{2} imerso num campo elétrico \vec{E}, que é -\vec{p}_{2}\cdot\vec{E}. Agora começamos a derivação do campo do dipolo.

Passo 3

Potencial escalar de um dipolo pontual: é conveniente trabalhar com o potencial elétrico V(\vec{r}) do dipolo \vec{p}_{1} no ponto \vec{r}. A expressão padrão (que pode ser obtida como limite de duas cargas ±q separadas por uma pequena distância) é
V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\vec{p}_{1}\cdot\vec{r}}{r^{3}}.
Observação útil: podemos reescrever essa forma usando a identidade \nabla\left(\dfrac{1}{r}\right)=-\dfrac{\vec{r}}{r^{3}}. Assim
\frac{\vec{p}_{1}\cdot\vec{r}}{r^{3}} = -\vec{p}_{1}\cdot\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right),
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V(\vec{r}) = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\vec{p}_{1}\cdot\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right).

Passo 4

Cálculo do campo elétrico a partir do potencial: o campo é \vec{E}(\vec{r})=-\nabla V(\vec{r}). Usando a forma do passo anterior,
\vec{E}(\vec{r})=-\nabla\left[-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\vec{p}_{1}\cdot\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right)\right] =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\nabla\!\left(\vec{p}_{1}\cdot\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right)\right).
Como \vec{p}_{1} é constante (vetor fixo do dipolo), podemos passar \vec{p}_{1} para dentro do operador de derivada como produto escalar com o operador \nabla. Usando a notação indicial para clareza (índices i,j variando sobre componentes), escrevemos
E_{i}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;p_{1,j}\,\partial_{i}\partial_{j}\!\left(\frac{1}{r}\right),
onde \partial_{i}=\dfrac{\partial}{\partial x_{i}}.

Passo 5

Avaliar as derivadas de \dfrac{1}{r}: primeiro lembramos que
\partial_{j}\!\left(\frac{1}{r}\right) = -\frac{x_{j}}{r^{3}},
onde x_{j} é a componente j-ésima do vetor \vec{r}. Diferenciando novamente,
\partial_{i}\partial_{j}\!\left(\frac{1}{r}\right) =\partial_{i}\left(-\frac{x_{j}}{r^{3}}\right) =-\delta_{ij}\frac{1}{r^{3}}+3\frac{x_{i}x_{j}}{r^{5}}.
Explicando essa conta passo a passo: ao derivar x_{j}r^{-3} em relação a x_{i} usamos a regra do produto; a derivada de x_{j} em relação a x_{i} é \delta_{ij} (o delta de Kronecker) e a derivada de r^{-3} dá um fator -3r^{-5}x_{i}, levando ao resultado acima. Podemos reorganizar essa expressão como
\partial_{i}\partial_{j}\!\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{1}{r^{3}}\left(3\hat{r}_{i}\hat{r}_{j}-\delta_{ij}\right),
pois \hat{r}_{i}=x_{i}/r.

Passo 6

Voltar à expressão do campo em forma vetorial: substituindo a expressão do passo anterior em E_{i}(\vec{r}) obtemos
E_{i}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;p_{1,j}\,\frac{1}{r^{3}}\left(3\hat{r}_{i}\hat{r}_{j}-\delta_{ij}\right).
Em notação vetorial isso é
\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{r^{3}}\left[3(\vec{p}_{1}\cdot\hat{r})\,\hat{r}-\vec{p}_{1}\right].
Essa é a expressão clássica do campo elétrico de um dipolo pontual \vec{p}_{1} em posição \vec{r} (fora da origem).

Passo 7

Energia de um dipolo num campo externo: a energia potencial de um dipolo \vec{p}_{2} colocado num campo elétrico \vec{E} é dada por
U = -\vec{p}_{2}\cdot\vec{E}.
Aqui aplicamos essa fórmula tomando \vec{E}=\vec{E}(\vec{r}) o campo gerado por \vec{p}_{1} no ponto onde está \vec{p}_{2}.

Passo 8

Calcular o produto escalar: substituindo \vec{E}(\vec{r}) do passo 6 em U=-\vec{p}_{2}\cdot\vec{E} obtemos
U = -\vec{p}_{2}\cdot\left[\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{r^{3}}\left(3(\vec{p}_{1}\cdot\hat{r})\,\hat{r}-\vec{p}_{1}\right)\right].
Tirando fatores constantes:
U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{r^{3}}\left[-3(\vec{p}_{1}\cdot\hat{r})(\vec{p}_{2}\cdot\hat{r}) + \vec{p}_{2}\cdot\vec{p}_{1}\right].
Usando a comutatividade do produto escalar \vec{p}_{2}\cdot\vec{p}_{1}=\vec{p}_{1}\cdot\vec{p}_{2}, rearranjamos:
U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{r^{3}}\left[\vec{p}_{1}\cdot\vec{p}_{2} - 3(\vec{p}_{1}\cdot\hat{r})(\vec{p}_{2}\cdot\hat{r})\right].

Resposta

U=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{r^{3}}\left[\vec{p}_{1} \cdot \vec{p}_{2}-3\left(\vec{p}_{1} \cdot \hat{r}\right)\left(\vec{p}_{2} \cdot \hat{r}\right)\right]

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