Mostre que a energia de interação de dois dipolos separados por um deslocamento
é:
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a energia de interação entre dois dipolos separados por um vetor deslocamento é
Informações dadas e notação: temos dois dipolos elétricos representados pelos vetores
e
. O vetor que separa o dipolo
(assumido na origem) do dipolo
é
, o módulo é
e o versor é
. A constante elétrica do meio é
. A tarefa é deduzir a expressão para
.
Passo 2
Plano de ataque (resumido): primeiro vou obter o campo elétrico gerado por um dipolo pontual
num ponto
distante; depois uso a fórmula da energia de um dipolo
imerso num campo elétrico
, que é
. Agora começamos a derivação do campo do dipolo.
Passo 3
Potencial escalar de um dipolo pontual: é conveniente trabalhar com o potencial elétrico
do dipolo
no ponto
. A expressão padrão (que pode ser obtida como limite de duas cargas ±q separadas por uma pequena distância) é
Observação útil: podemos reescrever essa forma usando a identidade
. Assim
logo
Passo 4
Cálculo do campo elétrico a partir do potencial: o campo é
. Usando a forma do passo anterior,
Como
é constante (vetor fixo do dipolo), podemos passar
para dentro do operador de derivada como produto escalar com o operador
. Usando a notação indicial para clareza (índices
variando sobre componentes), escrevemos
onde
.
Passo 5
Avaliar as derivadas de
: primeiro lembramos que
onde
é a componente
-ésima do vetor
. Diferenciando novamente,
Explicando essa conta passo a passo: ao derivar
em relação a
usamos a regra do produto; a derivada de
em relação a
é
(o delta de Kronecker) e a derivada de
dá um fator
, levando ao resultado acima. Podemos reorganizar essa expressão como
pois
.
Passo 6
Voltar à expressão do campo em forma vetorial: substituindo a expressão do passo anterior em
obtemos
Em notação vetorial isso é
Essa é a expressão clássica do campo elétrico de um dipolo pontual
em posição
(fora da origem).
Passo 7
Energia de um dipolo num campo externo: a energia potencial de um dipolo
colocado num campo elétrico
é dada por
Aqui aplicamos essa fórmula tomando
o campo gerado por
no ponto onde está
.
Passo 8
Calcular o produto escalar: substituindo
do passo 6 em
obtemos
Tirando fatores constantes:
Usando a comutatividade do produto escalar
, rearranjamos: