Encontre o potencial médio sobre uma superfície esférica de raio R devido a uma carga pontual q localizada dentro (em outras palavras, o mesmo que acima, mas com \mathrm{z}<\mathrm{R} ). (Neste caso, é claro, a equação de Laplace não funciona dentro da esfera.) Mostre que, em geral:
Onde V_{\text {centro }} é o potencial no centro devido a todas as cargas externas, e Q_{\text {tot }} é a carga total.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre o potencial médio sobre a superfície de uma esfera de raio R causada por cargas, no caso em que há cargas dentro da esfera (por exemplo, uma carga pontual q localizada a uma distância z do centro, com z<R). Em seguida devo mostrar a forma geral
Existe pelo menos uma carga pontual q com posição tal que z<R (isto é, a carga está dentro da esfera).
V_{\text{centro}} é definido como o potencial no centro devido a todas as cargas externas à esfera (ou seja, cargas que estão fora da superfície esférica).
Q_{\text{tot}} é a carga total (a soma de todas as cargas, internas e externas).
Deve-se usar superposição (potencial total = soma das contribuições) e lidar com o fato de que, quando há cargas dentro, a equação de Laplace não vale em toda a região interior.
Passo 2
Plano de ataque (sem calcular ainda):
Usar superposição: decompor o potencial total em contribuição das cargas externas e das internas.
Mostrar que a contribuição das cargas externas tem média sobre a esfera igual ao valor do potencial no centro devido a essas mesmas cargas (isto é, para a parte externa aplicamos a propriedade média das funções harmônicas).
Calcular explicitamente a média sobre a superfície da contribuição de uma carga pontual interna q e verificar que o resultado é \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}, independente da posição z (desde que z<R).
Somando todas as contribuições internas obtemos \dfrac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_0 R}; somando com o resultado das externas chegamos à fórmula do enunciado.
Vou executar esse plano passo a passo e explicar cada conceito usado.
Passo 3
Contribuição das cargas externas — razão pela qual sua média sobre a esfera é V_{\text{centro}}.
Explicação didática: se não há cargas no interior da esfera (região entre o centro e a superfície), o potencial devido às cargas externas satisfaz a equação de Laplace nessa região, ou seja
Uma propriedade clássica das soluções da equação de Laplace (propriedade média) é: o valor de uma função harmônica no centro de uma esfera é igual à média dessa função sobre a superfície da esfera. Uma forma simples de entender isso é observar que a solução harmônica regular no centro pode ser expandida em séries angulares (séries de harmônicos esféricos) em potências de r; ao fazer a média sobre os ângulos, todos os termos angulares (ordens l\ge1) integram para zero, restando apenas o termo constante (o valor no centro). Portanto
Conclusão: a média sobre a superfície da contribuição de todas as cargas externas é exatamente V_{\text{centro}}.
Passo 4
Contribuição de uma carga pontual interna q: escrever a expressão do potencial sobre a superfície e montar a média.
Coloco o eixo z de modo que a carga q esteja no ponto (0,0,z) com z<R. O potencial gerado por essa carga em um ponto da superfície da esfera (raio R) que faz ângulo \theta com o eixo z é
Importante: o z desapareceu — a média do potencial sobre a superfície gerada por uma carga pontual dentro da esfera não depende da posição da carga, apenas de sua carga q e do raio R.
Passo 6
Generalização por superposição e conclusão.
Para várias cargas internas q_{i}, pela linearidade do potencial (princípio da superposição) a média das contribuições internas é
Somando a contribuição média das cargas internas com a média da contribuição das cargas externas (que é V_{\text{centro}}, conforme o Passo 3), obtemos a média total sobre a superfície:
Se Q_{\text{tot}} denota a carga total considerada na soma (a soma das internas; cargas externas não contribuem para o termo \tfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} porque a expressão derivada para uma carga externa não produz esse termo — elas aparecem inteiras em V_{\text{centro}}), então escrevemos de forma geral
onde aqui Q_{\text{tot}} é a soma das cargas internas cuja média dá esse acréscimo (na prática, o enunciado usa Q_{\text{tot}} para a carga total que efetivamente entra nesse termo).
Intuição final: cargas externas afetam a média apenas através do potencial que produzem no centro (propriedade média para funções harmônicas); cargas internas contribuem com um termo simples \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} cada uma, independente de onde dentro da esfera elas estejam.