Encontre o potencial médio sobre uma superfície esférica de raio R devido a uma carga pontual q localizada dentro (em outras palavras, o mesmo que acima, mas com \mathrm{z}<\mathrm{R} ). (Neste caso, é claro, a equação de Laplace não funciona dentro da esfera.) Mostre que, em geral:
V_{\text {médio }}=V_{\text {centro }}+\frac{Q_{\text {tot }}}{4 \pi \varepsilon_{0} R}é
Onde V_{\text {centro }} é o potencial no centro devido a todas as cargas externas, e Q_{\text {tot }} é a carga total.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o potencial médio sobre a superfície de uma esfera de raio R causada por cargas, no caso em que há cargas dentro da esfera (por exemplo, uma carga pontual q localizada a uma distância z do centro, com z<R). Em seguida devo mostrar a forma geral
V_{\text{médio}}=V_{\text{centro}}+\frac{Q_{\text{tot}}}{4\pi\varepsilon_{0}R}.é
Informações relevantes dadas:
  • A esfera tem raio R.
  • Existe pelo menos uma carga pontual q com posição tal que z<R (isto é, a carga está dentro da esfera).
  • V_{\text{centro}} é definido como o potencial no centro devido a todas as cargas externas à esfera (ou seja, cargas que estão fora da superfície esférica).
  • Q_{\text{tot}} é a carga total (a soma de todas as cargas, internas e externas).
  • Deve-se usar superposição (potencial total = soma das contribuições) e lidar com o fato de que, quando há cargas dentro, a equação de Laplace não vale em toda a região interior.

Passo 2

Plano de ataque (sem calcular ainda):
  1. Usar superposição: decompor o potencial total em contribuição das cargas externas e das internas.
  2. Mostrar que a contribuição das cargas externas tem média sobre a esfera igual ao valor do potencial no centro devido a essas mesmas cargas (isto é, para a parte externa aplicamos a propriedade média das funções harmônicas).
  3. Calcular explicitamente a média sobre a superfície da contribuição de uma carga pontual interna q e verificar que o resultado é \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}, independente da posição z (desde que z<R).
  4. Somando todas as contribuições internas obtemos \dfrac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_0 R}; somando com o resultado das externas chegamos à fórmula do enunciado.
Vou executar esse plano passo a passo e explicar cada conceito usado.

Passo 3

Contribuição das cargas externas — razão pela qual sua média sobre a esfera é V_{\text{centro}}.
Explicação didática: se não há cargas no interior da esfera (região entre o centro e a superfície), o potencial devido às cargas externas satisfaz a equação de Laplace nessa região, ou seja
\nabla^{2}V_{\text{ext}}(\mathbf{r})=0\quad\text{para }|\mathbf{r}|<R.
Uma propriedade clássica das soluções da equação de Laplace (propriedade média) é: o valor de uma função harmônica no centro de uma esfera é igual à média dessa função sobre a superfície da esfera. Uma forma simples de entender isso é observar que a solução harmônica regular no centro pode ser expandida em séries angulares (séries de harmônicos esféricos) em potências de r; ao fazer a média sobre os ângulos, todos os termos angulares (ordens l\ge1) integram para zero, restando apenas o termo constante (o valor no centro). Portanto
\frac{1}{4\pi R^{2}}\int_{\text{superf.}} V_{\text{ext}}\,dA = V_{\text{ext}}(0)\equiv V_{\text{centro}}.
Conclusão: a média sobre a superfície da contribuição de todas as cargas externas é exatamente V_{\text{centro}}.

Passo 4

Contribuição de uma carga pontual interna q: escrever a expressão do potencial sobre a superfície e montar a média.
Coloco o eixo z de modo que a carga q esteja no ponto (0,0,z) com z<R. O potencial gerado por essa carga em um ponto da superfície da esfera (raio R) que faz ângulo \theta com o eixo z é
V(\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{\sqrt{R^{2}+z^{2}-2Rz\cos\theta}}.
A média do potencial sobre a superfície é
\overline{V}=\frac{1}{4\pi R^{2}}\int_{\text{superf.}} V\,dA.
Usando coordenadas esféricas, dA=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi, então
\overline{V}=\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi} V(\theta)\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Como V(\theta) não depende de \varphi, a integração em \varphi dá um fator 2\pi, ficando
\overline{V}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,q\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\theta}{\sqrt{R^{2}+z^{2}-2Rz\cos\theta}}\,d\theta.

Passo 5

Calcular o integral angular explicitamente.
Faço a substituição u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta. Quando \theta vai de 0 a \pi, u vai de 1 a -1. O integral torna-se
\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\theta}{\sqrt{R^{2}+z^{2}-2Rz\cos\theta}}\,d\theta =\int_{1}^{-1}\frac{-du}{\sqrt{R^{2}+z^{2}-2Rz\,u}} =\int_{-1}^{1}\frac{du}{\sqrt{a-bu}},
onde defini a=R^{2}+z^{2} e b=2Rz. O primitivo é
\int\frac{du}{\sqrt{a-bu}}=\frac{-2}{b}\sqrt{a-bu}+C,
porque \dfrac{d}{du}\sqrt{a-bu}=-\dfrac{b}{2\sqrt{a-bu}}. Avaliando de -1 a 1 obtemos
\int_{-1}^{1}\frac{du}{\sqrt{a-bu}}=\frac{2}{b}\Big(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}\Big).
Relembrando a\pm b=R^{2}+z^{2}\pm 2Rz=(R\pm z)^{2}, temos \sqrt{a+b}=R+z e \sqrt{a-b}=R-z (já que z<R, R-z>0). Portanto
\int_{-1}^{1}\frac{du}{\sqrt{a-bu}}=\frac{2}{2Rz}\big((R+z)-(R-z)\big)=\frac{2}{2Rz}\cdot 2z=\frac{2}{R}.
Substituindo de volta em \overline{V},
\overline{V}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,q\cdot\frac{2}{R}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{R}.
Importante: o z desapareceu — a média do potencial sobre a superfície gerada por uma carga pontual dentro da esfera não depende da posição da carga, apenas de sua carga q e do raio R.

Passo 6

Generalização por superposição e conclusão.
  • Para várias cargas internas q_{i}, pela linearidade do potencial (princípio da superposição) a média das contribuições internas é
\sum_{i}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_{i}}{R}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{\text{int}}}{R},
onde Q_{\text{int}} é a soma das cargas internas.
  • Somando a contribuição média das cargas internas com a média da contribuição das cargas externas (que é V_{\text{centro}}, conforme o Passo 3), obtemos a média total sobre a superfície:
V_{\text{médio}}=V_{\text{centro}}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{\text{int}}}{R}.é
Se Q_{\text{tot}} denota a carga total considerada na soma (a soma das internas; cargas externas não contribuem para o termo \tfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} porque a expressão derivada para uma carga externa não produz esse termo — elas aparecem inteiras em V_{\text{centro}}), então escrevemos de forma geral
V_{\text{médio}}=V_{\text{centro}}+\frac{Q_{\text{tot}}}{4\pi\varepsilon_{0}R},é
onde aqui Q_{\text{tot}} é a soma das cargas internas cuja média dá esse acréscimo (na prática, o enunciado usa Q_{\text{tot}} para a carga total que efetivamente entra nesse termo).
Intuição final: cargas externas afetam a média apenas através do potencial que produzem no centro (propriedade média para funções harmônicas); cargas internas contribuem com um termo simples \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} cada uma, independente de onde dentro da esfera elas estejam.

Resposta

V_{\text{médio}}=V_{\text{centro}}+\frac{Q_{\text{tot}}}{4\pi\varepsilon_{0}R}é

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