Considere que a praia de Copacabana tenha comprimento
, largura
e profundidade média
. , e que cada grão de areia seja aproximado de uma esfera de diâmetro
, sendo que a densidade da areia tenha valor igual a
.
A Areia é, em grande parte, composta desses grãos de quartzo (sílica), resultantes da erosão de rochas ricas em silício e oxigênio.Portanto, quando dizemos “areia”, geralmente
estamos falando de pequeninos fragmentos de sílica. Adote :
:
cada molécula de
contém 1 átomo de Si e 2 átomos de O (total de 3 átomos por molécula).
O volume de um grão é dado por
(a) Estime o número total de grãos de areia da praia de Copacabana em ordem de grandeza.
estamos falando de pequeninos fragmentos de sílica. Adote :
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- Comprimento da praia:
. - Largura da faixa de areia:
. - Profundidade média da areia:
. - Diâmetro de cada grão (esfera):
. - Densidade da areia:
. - Volume de uma esfera (grão):
- Comprimento da praia:
-
O que o problema pede:
- Estimar o número total de grãos de areia da praia de Copacabana, em ordem de grandeza.
Passo 2
Calcular o volume total de areia da praia (vamos primeiro converter todas as unidades para metros).
- Converter
para metros: - Volume total da areia (retângulo aproximado):
- Substituindo os valores:
- Fazer a multiplicação:
, então
Breve explicação didática: aqui estamos multiplicando comprimento × largura × profundidade para obter um volume em metros cúbicos. Converter
para metros foi necessário para ter todas as unidades consistentes.
Passo 3
Calcular o volume de um grão esférico.
- Primeiro a conversão do diâmetro para metros e cálculo do raio:
- Usar a fórmula do volume da esfera:
- Calcular
: - Calcular o fator
. Pode-se usar , então . - Portanto
- Multiplicando
, logo
Didática: o volume de um grão é muito pequeno porque o raio é da ordem de
;
reduz muito o número. Mantive poucas casas significativas porque estamos fazendo uma estimativa.
Passo 4
Calcular o número de grãos dividindo o volume total pelo volume de um grão.
- Número de grãos
(assumindo que a areia ocupa efetivamente o volume dado com a densidade já fornecida):
(Observação didática: poderíamos também usar massas e densidade:
, e a
cancela; por isso basta dividir volumes.)
- Substituindo os valores:
- Fazer a divisão em potências de dez e coeficientes:
- Calcular
. Assim - Arredondando para poucas casas significativas (estime):
Didática: esse cálculo mostra que poucas centenas de trilhões de grãos compõem essa estimativa; a manipulação com potências de dez é a maneira prática de lidar com números muito grandes/pequenos sem calculadora.
Passo 5
Interpretar como ordem de grandeza e discutir rapidamente as suposições.
- Ordem de grandeza:
- Principais suposições feitas (importante saber na prova):
- Todos os grãos têm exatamente
(na realidade há distribuição de tamanhos). - A praia inteira até a profundidade média
é areia homogênea com densidade média fornecida (não considerei vazios/porosidade separadamente porque a densidade dada já incorpora a informação média pedida). - Forma aproximada da região de areia é um paralelepípedo
.
- Todos os grãos têm exatamente
- Essas suposições são típicas em estimativas em ordem de grandeza — elas simplificam bastante, mas dão a escala correta.