Considere que a praia de Copacabana tenha comprimento L=4,0 \mathrm{~km}, largura W=50 \mathrm{~m} e profundidade média D=1,0 \mathrm{~m}. , e que cada grão de areia seja aproximado de uma esfera de diâmetro d=1,0 \mathrm{~mm}, sendo que a densidade da areia tenha valor igual a \rho=1,60 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
A Areia é, em grande parte, composta desses grãos de quartzo (sílica), resultantes da erosão de rochas ricas em silício e oxigênio.Portanto, quando dizemos “areia”, geralmente
estamos falando de pequeninos fragmentos de sílica. Adote : \mathrm{SiO}_{2} :
M_{\mathrm{SiO}_{2}}=60,1 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} \quad\left(A_{\mathrm{Si}}=28,09 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, A_{\mathrm{O}}=16,00 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}\right), \quad N_{A}=6,02 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}
cada molécula de \mathrm{SiO}_{2} contém 1 átomo de Si e 2 átomos de O (total de 3 átomos por molécula).
O volume de um grão é dado por
V=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{d}{2}\right)^{3}
(a) Estime o número total de grãos de areia da praia de Copacabana em ordem de grandeza.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
    • Comprimento da praia: L=4,0\\ \mathrm{km}.
    • Largura da faixa de areia: W=50\\ \mathrm{m}.
    • Profundidade média da areia: D=1,0\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro de cada grão (esfera): d=1,0\\ \mathrm{mm}.
    • Densidade da areia: \rho=1,60\times10^{3}\\ \mathrm{kg\!/m^{3}}.
    • Volume de uma esfera (grão): V=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{3}.
  • O que o problema pede:
    • Estimar o número total de grãos de areia da praia de Copacabana, em ordem de grandeza.

Passo 2

Calcular o volume total de areia da praia (vamos primeiro converter todas as unidades para metros).
  • Converter L para metros: L=4,0\\ \mathrm{km}=4,0\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
  • Volume total da areia (retângulo aproximado): V_{\text{total}}=L\cdot W\cdot D.
  • Substituindo os valores: V_{\text{total}}=(4,0\times10^{3})\cdot(50)\cdot(1,0)=4,0\times10^{3}\cdot50.
  • Fazer a multiplicação: 4,0\times50=200, então V_{\text{total}}=200\times10^{3}\\ \mathrm{m^{3}}=2,0\times10^{5}\\ \mathrm{m^{3}}.
Breve explicação didática: aqui estamos multiplicando comprimento × largura × profundidade para obter um volume em metros cúbicos. Converter L para metros foi necessário para ter todas as unidades consistentes.

Passo 3

Calcular o volume de um grão esférico.
  • Primeiro a conversão do diâmetro para metros e cálculo do raio: d=1,0\\ \mathrm{mm}=1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\qquad r=\frac{d}{2}=0,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=5,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Usar a fórmula do volume da esfera: V_{\text{grão}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.ã
  • Calcular r^{3}: r^{3}=(5,0\times10^{-4})^{3}=5,0^{3}\times(10^{-4})^{3}=125\times10^{-12}=1,25\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Calcular o fator \dfrac{4}{3}\pi. Pode-se usar \pi\approx3,1416, então \dfrac{4}{3}\pi\approx4,18879.
  • Portanto V_{\text{grão}}\approx4,18879\times1,25\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{3}}.ã
  • Multiplicando 4,18879\times1,25\approx5,23599, logo V_{\text{grão}}\approx5,24\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{3}}.ã
Didática: o volume de um grão é muito pequeno porque o raio é da ordem de 10^{-4}\\ \mathrm{m}; r^{3} reduz muito o número. Mantive poucas casas significativas porque estamos fazendo uma estimativa.

Passo 4

Calcular o número de grãos dividindo o volume total pelo volume de um grão.
  • Número de grãos N (assumindo que a areia ocupa efetivamente o volume dado com a densidade já fornecida): N=\frac{V_{\text{total}}}{V_{\text{grão}}}.ã
(Observação didática: poderíamos também usar massas e densidade: N=(\rho V_{\text{total}})/(\rho V_{\text{grão}})ã, e a \rho cancela; por isso basta dividir volumes.)
  • Substituindo os valores: N\approx\frac{2,0\times10^{5}}{5,24\times10^{-10}}.
  • Fazer a divisão em potências de dez e coeficientes: \frac{2,0}{5,24}\times10^{5-(-10)}=\frac{2,0}{5,24}\times10^{15}.
  • Calcular \dfrac{2,0}{5,24}\approx0,3817. Assim N\approx0,3817\times10^{15}=3,817\times10^{14}.
  • Arredondando para poucas casas significativas (estime): N\approx3,8\times10^{14}\\ \text{grãos}.ã
Didática: esse cálculo mostra que poucas centenas de trilhões de grãos compõem essa estimativa; a manipulação com potências de dez é a maneira prática de lidar com números muito grandes/pequenos sem calculadora.

Passo 5

Interpretar como ordem de grandeza e discutir rapidamente as suposições.
  • Ordem de grandeza: N\sim10^{14}\\ \text{grãos}.ã
  • Principais suposições feitas (importante saber na prova):
    • Todos os grãos têm exatamente d=1,0\\ \mathrm{mm} (na realidade há distribuição de tamanhos).
    • A praia inteira até a profundidade média D é areia homogênea com densidade média \rho fornecida (não considerei vazios/porosidade separadamente porque a densidade dada já incorpora a informação média pedida).
    • Forma aproximada da região de areia é um paralelepípedo L\times W\times D.
  • Essas suposições são típicas em estimativas em ordem de grandeza — elas simplificam bastante, mas dão a escala correta.

Resposta

N\approx3,8\times10^{14} grãos (ordem de grandeza: 10^{14}).

Exercícios relacionados