(1,0 ponto) Questão 2 - Um astronauta é colocado a bordo de uma espaçonave e enviado para uma estação espacial a uma velocidade constante
, onde c é a velocidade da luz no vácuo. No referencial da espaçonave, o tempo transcorrido entre o lançamento e a chegada na estação espacial foi de
meses. Qual o tempo transcorrido no referencial da Terra, em meses?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo que segue com números foi retirado do enunciado):
- Velocidade da espaçonave em relação à Terra:
, onde é a velocidade da luz no vácuo. - No referencial da espaçonave, o tempo transcorrido entre lançamento e chegada foi
meses.
O que a questão pede:
- Determinar o tempo transcorrido no referencial da Terra, em meses.
Passo 2
Escolha do método (explicação curta do porquê):
Não foi exigido um método específico no enunciado. Para comparar tempos medidos em referenciais em movimento relativo com velocidade constante usamos a relação conhecida da teoria da relatividade restrita entre o tempo próprio (tempo medido no referencial onde os dois eventos ocorrem no mesmo lugar) e o tempo medido por um observador em movimento relativo. Essa é a forma mais direta e simples para este problema — além de ser o conteúdo esperado numa prova sobre dilatação do tempo. Vou usar essa fórmula e explicá-la com calma.
Não foi exigido um método específico no enunciado. Para comparar tempos medidos em referenciais em movimento relativo com velocidade constante usamos a relação conhecida da teoria da relatividade restrita entre o tempo próprio (tempo medido no referencial onde os dois eventos ocorrem no mesmo lugar) e o tempo medido por um observador em movimento relativo. Essa é a forma mais direta e simples para este problema — além de ser o conteúdo esperado numa prova sobre dilatação do tempo. Vou usar essa fórmula e explicá-la com calma.
Passo 3
Conceitos e fórmulas — aula curta e didática:
- Tempo próprio
: é o intervalo de tempo medido no referencial onde os dois eventos ocorrem no mesmo lugar. Aqui, o embarque e a chegada ocorrem para o astronauta no mesmo ponto da sua espaçonave, logo o tempo dado meses é um tempo próprio. - Tempo dilatado
: é o intervalo de tempo medido por um observador em relação ao qual a espaçonave está se movendo (neste caso, observador na Terra). Em movimentos a velocidade constante existe a relação
onde
é o fator de Lorentz, definido por
Aqui:
-
é o tempo que queremos (no referencial da Terra), -
é o tempo próprio (medido na espaçonave), -
é a velocidade relativa entre os referenciais, -
é a velocidade da luz.
Comentário prático: para velocidades pequenas comparadas com, e os efeitos são desprezíveis; para frações significativas de (como ) difere bastante de 1 e o tempo medido na Terra será maior que meses.
Passo 4
Calcular o fator de Lorentz
passo a passo usando
:
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora calcule
:
A raiz quadrada:
Portanto
(usar a fração
facilita contas exatas sem calculadora.)
Passo 5
Aplicar a fórmula da dilatação do tempo:
Substituindo
e
meses:
Calcule passo a passo:
Logo
meses.
Passo 6
Interpretação final e dica de prova (breve, motivadora):
- Significado: enquanto o astronauta mediu
meses a bordo (tempo próprio), observadores na Terra registram que o intervalo entre os mesmos dois eventos levou meses. Isso é a dilatação do tempo — relógios em movimento, vistos por quem está em repouso relativo, marcam mais tempo entre dois eventos que ocorrem no mesmo lugar do referencial em movimento. - Dica para prova: sempre identifique qual tempo é o tempo próprio (normalmente o medido no objeto/ônibus/espaconave onde os eventos ocorrem no mesmo ponto) e aplique
. Respire fundo — você conseguiu!