(1,0 ponto) Questão 2 - Um astronauta é colocado a bordo de uma espaçonave e enviado para uma estação espacial a uma velocidade constante \boldsymbol{v}=\mathbf{0 , 8 c}, onde c é a velocidade da luz no vácuo. No referencial da espaçonave, o tempo transcorrido entre o lançamento e a chegada na estação espacial foi de \mathbf{1 2} meses. Qual o tempo transcorrido no referencial da Terra, em meses?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo que segue com números foi retirado do enunciado):
  • Velocidade da espaçonave em relação à Terra: v = 0,8\,c, onde c é a velocidade da luz no vácuo.
  • No referencial da espaçonave, o tempo transcorrido entre lançamento e chegada foi \Delta\tau = 12 meses.
O que a questão pede:
  • Determinar o tempo transcorrido no referencial da Terra, em meses.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta do porquê):
Não foi exigido um método específico no enunciado. Para comparar tempos medidos em referenciais em movimento relativo com velocidade constante usamos a relação conhecida da teoria da relatividade restrita entre o tempo próprio (tempo medido no referencial onde os dois eventos ocorrem no mesmo lugar) e o tempo medido por um observador em movimento relativo. Essa é a forma mais direta e simples para este problema — além de ser o conteúdo esperado numa prova sobre dilatação do tempo. Vou usar essa fórmula e explicá-la com calma.

Passo 3

Conceitos e fórmulas — aula curta e didática:
  • Tempo próprio \Delta\tau: é o intervalo de tempo medido no referencial onde os dois eventos ocorrem no mesmo lugar. Aqui, o embarque e a chegada ocorrem para o astronauta no mesmo ponto da sua espaçonave, logo o tempo dado \Delta\tau = 12 meses é um tempo próprio.
  • Tempo dilatado \Delta t: é o intervalo de tempo medido por um observador em relação ao qual a espaçonave está se movendo (neste caso, observador na Terra). Em movimentos a velocidade constante existe a relação
\Delta t = \gamma\,\Delta\tau,
onde \gamma é o fator de Lorentz, definido por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Aqui:
  • \Delta t é o tempo que queremos (no referencial da Terra),
  • \Delta\tau é o tempo próprio (medido na espaçonave),
  • v é a velocidade relativa entre os referenciais,
  • c é a velocidade da luz.
    Comentário prático: para velocidades pequenas comparadas com c, \gamma\approx 1 e os efeitos são desprezíveis; para frações significativas de c (como 0,8\,c) \gamma difere bastante de 1 e o tempo medido na Terra será maior que 12 meses.

Passo 4

Calcular o fator de Lorentz \gamma passo a passo usando v = 0,8\,c:
Primeiro calcule \dfrac{v^{2}}{c^{2}}:
\dfrac{v^{2}}{c^{2}} = (0,8)^{2} = 0,64.
Agora calcule 1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}:
1 - 0,64 = 0,36.
A raiz quadrada:
\sqrt{0,36} = 0,6.
Portanto
\gamma = \frac{1}{0,6} = \frac{1}{6/10} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1,666\ldots
(usar a fração \dfrac{5}{3} facilita contas exatas sem calculadora.)

Passo 5

Aplicar a fórmula da dilatação do tempo:
\Delta t = \gamma\,\Delta\tau.
Substituindo \gamma = \dfrac{5}{3} e \Delta\tau = 12 meses:
\Delta t = \frac{5}{3}\times 12.
Calcule passo a passo:
\frac{5}{3}\times 12 = 5 \times \frac{12}{3} = 5 \times 4 = 20.
Logo \Delta t = 20 meses.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova (breve, motivadora):
  • Significado: enquanto o astronauta mediu 12 meses a bordo (tempo próprio), observadores na Terra registram que o intervalo entre os mesmos dois eventos levou 20 meses. Isso é a dilatação do tempo — relógios em movimento, vistos por quem está em repouso relativo, marcam mais tempo entre dois eventos que ocorrem no mesmo lugar do referencial em movimento.
  • Dica para prova: sempre identifique qual tempo é o tempo próprio (normalmente o medido no objeto/ônibus/espaconave onde os eventos ocorrem no mesmo ponto) e aplique \Delta t = \gamma\,\Delta\tau. Respire fundo — você conseguiu!

Resposta

\,20\\ \text{meses}

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