Um oscilador harmônico oscila com amplitude de movimento igual a 0,2 \mathrm{~cm}, com fase inicial de 0^{\circ}, e frequência de oscilação igual a 0,5 \mathrm{~s}. Obtenha:
a)A equação da posição do oscilador em função do tempo;
b) A equação da velocidade do oscilador em função do tempo;
c) A equação da aceleração do oscilador em função do tempo;
d) O valor máximo da velocidade;
e) O valor máximo da aceleração;
f) Os valores da posição, velocidade e aceleração, para \mathrm{t}=0,8 \mathrm{~s};
g) Os gráficos da posição, velocidade e aceleração do oscilador.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • Amplitude do movimento: A=0,2\\ \mathrm{cm}.
  • Fase inicial: \varphi_0=0^\circ.
  • O enunciado diz "frequência de oscilação igual a 0,5\\ \mathrm{s}". Isto está ambíguo porque a unidade \mathrm{s} é de tempo (período) enquanto frequência tem unidade \mathrm{Hz}= \mathrm{s}^{-1}. Vou interpretar esse dado como sendo o período T=0{,}5\\ \mathrm{s} (justificativa: a presença de \mathrm{s} sugere que foi dado o período). Se, por acaso, o enunciado tivesse querido a frequência em hertz, a conta seria ligeiramente diferente — explicarei isso quando for relevante.
  • O enunciado pede:
    (a) a equação da posição x(t);
    (b) a equação da velocidade v(t);
    (c) a equação da aceleração a(t);
    (d) o valor máximo da velocidade;
    (e) o valor máximo da aceleração;
    (f) os valores de x, v e a em t=0{,}8\\ \mathrm{s};
    (g) os gráficos de x(t), v(t) e a(t).
Observações úteis que vou usar depois (não são resolução ainda): converter unidades para SI e relacionar período e frequência com a pulsação:
A=0{,}2\\ \mathrm{cm}=0{,}002\\ \mathrm{m}, \qquad T=0{,}5\\ \mathrm{s},
\text{pulsação: }\omega=\frac{2\pi}{T}.çã

Passo 2

Calcular a pulsação \omega (frequência angular) a partir do período T. Explicando a fórmula:
  • Em movimento harmônico simples, a variável-chave é a pulsação \omega (em \mathrm{rad/s}). Ela indica quantos radianos por segundo a fase do movimento avança.
  • A relação entre período T (tempo de uma oscilação completa) e \omega é
\omega=\frac{2\pi}{T},
onde 2\pi é a fase (em radianos) correspondente a uma volta completa.
Aplicando ao nosso caso:
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Portanto \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s} (aprox. 12{,}5664\\ \mathrm{rad/s}).

Passo 3

Formular a equação da posição x(t). Conceito e escolha da forma:
  • Para um oscilador harmônico com amplitude A e fase inicial \varphi_0, a posição pode ser escrita como
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)
ou como A\sin(\omega t+\varphi_0) dependendo da escolha de referência. Aqui a fase inicial é \varphi_0=0^\circ=0, e escolhemos a forma com cosseno pois dá x(0)=A (o enunciado indica fase zero).
  • Substituindo A e \omega:
x(t)=0{,}002\cos(4\pi t)\\ \mathrm{m}.
Se preferir em centímetros:
x(t)=0{,}2\cos(4\pi t)\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Obter a velocidade v(t) por derivação da posição. Conceito e procedimento:
  • Velocidade é a derivada temporal da posição: v(t)=\dfrac{dx}{dt}.
  • Derivando \cos(\omega t+\varphi_0) usa-se \dfrac{d}{dt}\cos(\omega t+\varphi_0)=-\omega\sin(\omega t+\varphi_0).
    Aplicando ao nosso x(t):
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(0{,}002\cos(4\pi t)\bigr) = -0{,}002\cdot 4\pi \sin(4\pi t)\\ \mathrm{m/s}.
Podemos simplificar o fator:
v(t)=-0{,}008\pi\sin(4\pi t)\\ \mathrm{m/s}\approx -0{,}0251327\sin(4\pi t)\\ \mathrm{m/s}.
Em \mathrm{cm/s}:
v(t)=-2{,}51327\sin(4\pi t)\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 5

Obter a aceleração a(t) por derivação da velocidade (ou segunda derivada de x). Conceito:
  • Aceleração é a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^2x}{dt^2}.
  • Derivando v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi_0) obtemos a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi_0). Note que isso devolve algo proporcional a x(t): a(t)=-\omega^2 x(t), identidade importante em MHS.
Aplicando aos números:
a(t)=-0{,}002\cdot(4\pi)^2\cos(4\pi t)\\ \mathrm{m/s^2}.
Podemos calcular (4\pi)^2=16\pi^2, então
a(t)=-0{,}032\pi^2\cos(4\pi t)\\ \mathrm{m/s^2}\approx -0{,}315827\cos(4\pi t)\\ \mathrm{m/s^2}.
Em \mathrm{cm/s^2}:
a(t)\approx -31{,}5827\cos(4\pi t)\\ \mathrm{cm/s^2}.

Passo 6

Calcular os valores máximos de velocidade e aceleração. Conceito:
  • A velocidade v(t)=-A\omega\sin(\cdot) tem amplitude máxima |v|_{\max}=A\omega (pois |\sin|\le 1).
  • A aceleração a(t)=-A\omega^2\cos(\cdot) tem amplitude máxima |a|_{\max}=A\omega^2 (pois |\cos|\le 1).
Calcule numericamente com A=0{,}002\\ \mathrm{m} e \omega=4\pi:
v_{\max}=A\omega=0{,}002\cdot 4\pi =0{,}008\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}0251327\\ \mathrm{m/s}.
Em \mathrm{cm/s}:
v_{\max}\approx 2{,}51327\\ \mathrm{cm/s}.
a_{\max}=A\omega^2=0{,}002\cdot(4\pi)^2 =0{,}032\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}\approx 0{,}315827\\ \mathrm{m/s^2}.
Em \mathrm{cm/s^2}:
a_{\max}\approx 31{,}5827\\ \mathrm{cm/s^2}.

Passo 7

Calcular x, v e a em t=0{,}8\\ \mathrm{s} passo a passo. Primeiro calcular \omega t:
\omega t = 4\pi \cdot 0{,}8 = 3{,}2\pi.
Reduzir \cos(3{,}2\pi) e \sin(3{,}2\pi) usando periodicidade:
  • 3{,}2\pi = 2\pi + 1{,}2\pi, então \cos(3{,}2\pi)=\cos(1{,}2\pi) e \sin(3{,}2\pi)=\sin(1{,}2\pi).
  • 1{,}2\pi = \pi + 0{,}2\pi. Usando identidades: \cos(1{,}2\pi)=\cos(\pi+0{,}2\pi)=-\cos(0{,}2\pi), \qquad \sin(1{,}2\pi)=\sin(\pi+0{,}2\pi)=-\sin(0{,}2\pi).
  • \;0{,}2\pi=\dfrac{\pi}{5}=36^\circ. Valores conhecidos (ou calculáveis): \cos\bigl(0{,}2\pi\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr)\approx 0{,}809016, \qquad \sin\bigl(0{,}2\pi\bigr)\approx 0{,}587785.
Portanto
\cos(3{,}2\pi)=-0{,}809016,\qquad \sin(3{,}2\pi)=-0{,}587785.
Agora calcular cada grandeza:
Posição:
x(0{,}8)=0{,}002\cos(3{,}2\pi)=0{,}002\cdot(-0{,}809016)=-0{,}001618032\\ \mathrm{m}.
Em centímetros:
x(0{,}8)\approx -0{,}1618032\\ \mathrm{cm}.
Velocidade:
v(0{,}8)=-0{,}002\cdot 4\pi \sin(3{,}2\pi) = -0{,}008\pi\cdot(-0{,}587785).
Como -\sin(3{,}2\pi)= -(-0{,}587785)=+0{,}587785, temos
v(0{,}8)=0{,}008\pi\cdot 0{,}587785 \approx 0{,}014775\\ \mathrm{m/s}.
Em \mathrm{cm/s}:
v(0{,}8)\approx 1{,}4775\\ \mathrm{cm/s}.
Aceleração:
a(0{,}8)=-0{,}002\cdot(4\pi)^2\cos(3{,}2\pi) = -0{,}032\pi^2\cdot(-0{,}809016).
Como os dois sinais negativos se cancelam,
a(0{,}8)=0{,}032\pi^2\cdot 0{,}809016 \approx 0{,}255585\\ \mathrm{m/s^2}.
Em \mathrm{cm/s^2}:
a(0{,}8)\approx 25{,}5585\\ \mathrm{cm/s^2}.

Passo 8

Comentários sobre os gráficos x(t), v(t), a(t) e como desenhá-los (passo-a-passo didático):
  • Todas são funções senoidais com a mesma pulsação \omega=4\pi.
  • x(t)=A\cos(4\pi t): cosseno com amplitude 0{,}2\\ \mathrm{cm} e período T=0{,}5\\ \mathrm{s}. No instante t=0 inicia em x(0)=+0{,}2\\ \mathrm{cm}.
  • v(t)=-A\omega\sin(4\pi t): seno com amplitude A\omega\approx 2{,}513\\ \mathrm{cm/s}, defasado em 90^\circ (ou \pi/2 rad) em relação a x(t). Onde x é máximo, v=0; onde x cruza zero com saúde positiva, v é máxima.
  • a(t)=-A\omega^2\cos(4\pi t): é proporcional a -\cos(4\pi t), mesma forma do cosseno mas invertida; amplitude A\omega^2\approx 31{,}583\\ \mathrm{cm/s^2}. Note a relação a(t)=-\omega^2 x(t): a aceleração está sempre apontando para o centro (sinal contrário da posição).
  • Para desenhar num papel:
    1. Marque o eixo do tempo horizontal com marcações a cada T/4=0{,}125\\ \mathrm{s} (pois T=0{,}5\\ \mathrm{s}).
    2. No eixo vertical marque as amplitudes: para x de -0{,}2 a +0{,}2\\ \mathrm{cm}; para v de -2{,}513 a +2{,}513\\ \mathrm{cm/s}; para a de -31{,}583 a +31{,}583\\ \mathrm{cm/s^2}.
    3. Trace uma onda cosseno para x(t); para v(t) trace uma seno defasada -90^\circ (ou simplesmente derive o cosseno); para a(t) trace um cosseno invertido com maior amplitude.
  • Essas três curvas têm a mesma frequência (mesma largura de onda temporal), apenas amplitudes e defasagens diferentes.

Resposta

(a) x(t)=0{,}002\cos(4\pi t)\\ \mathrm{m}=0{,}2\cos(4\pi t)\\ \mathrm{cm}
(b) v(t)=-0{,}002\cdot4\pi\sin(4\pi t)\\ \mathrm{m/s}\approx -0{,}0251327\sin(4\pi t)\\ \mathrm{m/s}
(c) a(t)=-0{,}002\cdot(4\pi)^2\cos(4\pi t)\\ \mathrm{m/s^2}\approx -0{,}315827\cos(4\pi t)\\ \mathrm{m/s^2}
(d) v_{\max}=A\omega=0{,}002\cdot4\pi=0{,}008\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}0251327\\ \mathrm{m/s} (≈ 2{,}51327\\ \mathrm{cm/s})
(e) a_{\max}=A\omega^2=0{,}002\cdot(4\pi)^2=0{,}032\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}\approx 0{,}315827\\ \mathrm{m/s^2} (≈ 31{,}5827\\ \mathrm{cm/s^2})
(f) Em t=0{,}8\\ \mathrm{s}:
x(0{,}8)=-0{,}001618032\\ \mathrm{m}\approx -0{,}1618032\\ \mathrm{cm}
v(0{,}8)=0{,}014775\\ \mathrm{m/s}\approx 1{,}4775\\ \mathrm{cm/s}
a(0{,}8)=0{,}255585\\ \mathrm{m/s^2}\approx 25{,}5585\\ \mathrm{cm/s^2}
(g) Gráficos: x(t)=0{,}002\cos(4\pi t) — cosseno com amplitude 0{,}2\\ \mathrm{cm} e período T=0{,}5\\ \mathrm{s}; v(t)=-0{,}002\cdot4\pi\sin(4\pi t) — seno defasado com amplitude \approx 2{,}513\\ \mathrm{cm/s}; a(t)=-0{,}002\cdot(4\pi)^2\cos(4\pi t) — cosseno invertido com amplitude \approx 31{,}583\\ \mathrm{cm/s^2}.

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