Um oscilador harmônico oscila com amplitude de movimento igual a
, com fase inicial de
, e frequência de oscilação igual a
. Obtenha:
a)A equação da posição do oscilador em função do tempo;
b) A equação da velocidade do oscilador em função do tempo;
c) A equação da aceleração do oscilador em função do tempo;
d) O valor máximo da velocidade;
e) O valor máximo da aceleração;
f) Os valores da posição, velocidade e aceleração, para
;
g) Os gráficos da posição, velocidade e aceleração do oscilador.
a)A equação da posição do oscilador em função do tempo;
b) A equação da velocidade do oscilador em função do tempo;
c) A equação da aceleração do oscilador em função do tempo;
d) O valor máximo da velocidade;
e) O valor máximo da aceleração;
f) Os valores da posição, velocidade e aceleração, para
g) Os gráficos da posição, velocidade e aceleração do oscilador.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
- Amplitude do movimento:
. - Fase inicial:
. - O enunciado diz "frequência de oscilação igual a
". Isto está ambíguo porque a unidade é de tempo (período) enquanto frequência tem unidade . Vou interpretar esse dado como sendo o período (justificativa: a presença de sugere que foi dado o período). Se, por acaso, o enunciado tivesse querido a frequência em hertz, a conta seria ligeiramente diferente — explicarei isso quando for relevante. - O enunciado pede:
(a) a equação da posição;
(b) a equação da velocidade;
(c) a equação da aceleração;
(d) o valor máximo da velocidade;
(e) o valor máximo da aceleração;
(f) os valores de, e em ;
(g) os gráficos de, e .
Observações úteis que vou usar depois (não são resolução ainda): converter unidades para SI e relacionar período e frequência com a pulsação:
Passo 2
Calcular a pulsação
(frequência angular) a partir do período
. Explicando a fórmula:
- Em movimento harmônico simples, a variável-chave é a pulsação
(em ). Ela indica quantos radianos por segundo a fase do movimento avança. - A relação entre período
(tempo de uma oscilação completa) e é
onde
é a fase (em radianos) correspondente a uma volta completa.
Aplicando ao nosso caso:
Portanto
(aprox.
).
Passo 3
Formular a equação da posição
. Conceito e escolha da forma:
- Para um oscilador harmônico com amplitude
e fase inicial , a posição pode ser escrita como
ou como
dependendo da escolha de referência. Aqui a fase inicial é
, e escolhemos a forma com cosseno pois dá
(o enunciado indica fase zero).
- Substituindo
e :
Se preferir em centímetros:
Passo 4
Obter a velocidade
por derivação da posição. Conceito e procedimento:
- Velocidade é a derivada temporal da posição:
. - Derivando
usa-se .
Aplicando ao nosso:
Podemos simplificar o fator:
Em
:
Passo 5
Obter a aceleração
por derivação da velocidade (ou segunda derivada de
). Conceito:
- Aceleração é
. - Derivando
obtemos . Note que isso devolve algo proporcional a : , identidade importante em MHS.
Aplicando aos números:
Podemos calcular
, então
Em
:
Passo 6
Calcular os valores máximos de velocidade e aceleração. Conceito:
- A velocidade
tem amplitude máxima (pois ). - A aceleração
tem amplitude máxima (pois ).
Calcule numericamente com
e
:
Em
:
Em
:
Passo 7
Calcular
,
e
em
passo a passo. Primeiro calcular
:
Reduzir
e
usando periodicidade:
-
, então e . -
. Usando identidades: -
. Valores conhecidos (ou calculáveis):
Portanto
Agora calcular cada grandeza:
Posição:
Em centímetros:
Velocidade:
Como
, temos
Em
:
Aceleração:
Como os dois sinais negativos se cancelam,
Em
:
Passo 8
Comentários sobre os gráficos
,
,
e como desenhá-los (passo-a-passo didático):
- Todas são funções senoidais com a mesma pulsação
. -
: cosseno com amplitude e período . No instante inicia em . -
: seno com amplitude , defasado em (ou rad) em relação a . Onde é máximo, ; onde cruza zero com saúde positiva, é máxima. -
: é proporcional a , mesma forma do cosseno mas invertida; amplitude . Note a relação : a aceleração está sempre apontando para o centro (sinal contrário da posição). - Para desenhar num papel:
- Marque o eixo do tempo horizontal com marcações a cada
(pois ). - No eixo vertical marque as amplitudes: para
de a ; para de a ; para de a . - Trace uma onda cosseno para
; para trace uma seno defasada (ou simplesmente derive o cosseno); para trace um cosseno invertido com maior amplitude.
- Marque o eixo do tempo horizontal com marcações a cada
- Essas três curvas têm a mesma frequência (mesma largura de onda temporal), apenas amplitudes e defasagens diferentes.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(≈
)
(e)
(≈
)
(f) Em
:
(g) Gráficos:
— cosseno com amplitude
e período
;
— seno defasado com amplitude
;
— cosseno invertido com amplitude
.