Considere que a praia de Copacabana tenha comprimento L=4,0 \mathrm{~km}, largura W=50 \mathrm{~m} e profundidade média D=1,0 \mathrm{~m}. , e que cada grão de areia seja aproximado de uma esfera de diâmetro d=1,0 \mathrm{~mm}, sendo que a densidade da areia tenha valor igual a \rho=1,60 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
A Areia é, em grande parte, composta desses grãos de quartzo (sílica), resultantes da erosão de rochas ricas em silício e oxigênio.Portanto, quando dizemos “areia”, geralmente
estamos falando de pequeninos fragmentos de sílica. Adote : \mathrm{SiO}_{2} :
M_{\mathrm{SiO}_{2}}=60,1 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} \quad\left(A_{\mathrm{Si}}=28,09 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, A_{\mathrm{O}}=16,00 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}\right), \quad N_{A}=6,02 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}
cada molécula de \mathrm{SiO}_{2} contém 1 átomo de Si e 2 átomos de O (total de 3 átomos por molécula).
O volume de um grão é dado por
V=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{d}{2}\right)^{3}
(b) Estime em ordem de grandeza o número de átomos em um único grão de areia.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pedido: estimar, em ordem de grandeza, o número de átomos presentes em um único grão de areia.
  • Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
    • diâmetro do grão: d=1{,}0\\ \mathrm{mm};
    • densidade da areia: \rho=1{,}60\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}};
    • massa molar do \mathrm{SiO}_{2}: M_{\mathrm{SiO}_{2}}=60{,}1\\ \mathrm{g/mol};
    • número de Avogadro: N_{A}=6{,}02\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}};
    • cada molécula de \mathrm{SiO}_{2} tem 3 átomos (1 Si + 2 O).
  • Fórmula útil (dada): volume de uma esfera
V=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{3}.
Observação: para este item só preciso de propriedades do grão isolado (não uso L,W,D da praia).

Passo 2

Calcular o volume de um grão (detalhando unidades e conversões).
  • Converter o diâmetro para metros: d=1{,}0\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Raio: r=\dfrac{d}{2}=0{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular r^{3}:
r^{3}=\left(0{,}5\times10^{-3}\right)^{3}=0{,}125\times10^{-9}=1{,}25\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Agora o volume da esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\approx 4{,}18879\times 1{,}25\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{3}}
V\approx 5{,}24\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{3}}.
Explicação didática: a fórmula \dfrac{4}{3}\pi r^{3} dá o volume ocupado por uma esfera de raio r. Aqui usei \pi\approx3{,}1416 e fiz as potências de dez separadamente para manter rastreabilidade na prova.

Passo 3

Calcular a massa de um grão usando a densidade.
  • Fórmula da densidade: \rho=\dfrac{m}{V}, portanto m=\rho V.
  • Substituindo:
m = \left(1{,}60\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}\right)\left(5{,}24\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{3}}\right)
m\approx 8{,}38\times10^{-7}\\ \mathrm{kg}.
  • (Opcional para intuir grandezas) Em gramas: m\approx 8{,}38\times10^{-4}\\ \mathrm{g}.
Didática: a densidade \rho relaciona quanto de massa há por unidade de volume; multiplicando pelo volume do grão obtemos sua massa.

Passo 4

Converter a massa do grão em número de mols de \mathrm{SiO}_{2}.
  • Converter a massa molar para kg/mol: M_{\mathrm{SiO}_{2}}=60{,}1\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0601\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Número de mols no grão:
n=\frac{m}{M_{\mathrm{SiO}_{2}}}=\frac{8{,}38\times10^{-7}\\ \mathrm{kg}}{0{,}0601\\ \mathrm{kg/mol}}
n\approx 1{,}39\times10^{-5}\\ \mathrm{mol}.
Explicação didática: um mol de \mathrm{SiO}_{2} tem massa M_{\mathrm{SiO}_{2}}; dividindo a massa do grão pela massa de um mol obtemos quantos mols há no grão.

Passo 5

Converter mols em moléculas e depois em átomos.
  • Número de moléculas de \mathrm{SiO}_{2} no grão:
N_{\text{moléculas}}=n\,N_{A}\approx \left(1{,}39\times10^{-5}\right)\left(6{,}02\times10^{23}\right)é
N_{\text{moléculas}}\approx 8{,}39\times10^{18}.é
  • Cada molécula tem 3 átomos, logo o número total de átomos é
N_{\text{átomos}}=3\,N_{\text{moléculas}}\approx 3\times 8{,}39\times10^{18}áé
N_{\text{átomos}}\approx 2{,}52\times10^{19}.á
Didática: Avogadro ( N_{A}) diz quantas unidades (moléculas) há em um mol. Multiplicando o número de mols pelo N_{A} obtemos moléculas; multiplicando por 3 obtemos átomos porque cada molécula de \mathrm{SiO}_{2} contém 3 átomos.

Passo 6

Verificação rápida por ordem de grandeza (atalho útil em prova).
  • Estimativa grosseira: volume \sim(10^{-3})^{3}\sim10^{-9}\\ \mathrm{m^{3}}, fator geométrico da esfera reduz para \sim10^{-10}; massa \sim10^{3}\cdot10^{-10}\sim10^{-7}\\ \mathrm{kg}; mols \sim10^{-7}/10^{-2}\sim10^{-5}\\ \mathrm{mol}; moléculas \sim10^{-5}\cdot10^{23}\sim10^{18}; átomos \sim3\cdot10^{18}\sim10^{19}. Isso confirma a ordem de grandeza encontrada: cerca de 10^{19} átomos.

Resposta

N_{\text{átomos}}\approx 2{,}5\times10^{19}á

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