Considere um preço de monopólio que maximize os lucros sob as seguintes condições. A quantidade que maximiza o lucro é 40 unidades, o preço que maximiza o lucro é \ 160 e o custo marginal da 40 a unidade éé$120 . Se os bens fossem produzidos em um mercado perfeitamente competitivo, a quantidade de equilíbrio seria 50, e o preço de equilíbrio seriaíçí$ 150 . As curvas de demanda e custo marginal são lineares. Qual é o valor do peso morto criado pelo monopolista? a. \(\\) 40
b. \ 100$
c. \ 200$
d. \ 400$

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o peso morto (deadweight loss) criado por um monopolista, dado um conjunto de informações. Dados importantes fornecidos pelo enunciado:
  • A quantidade que maximiza o lucro do monopolista é \,40 unidades.
  • O preço que maximiza o lucro do monopolista é \$\;160.
  • O custo marginal na quantidade \,40 é \$\;120.
  • No mercado perfeitamente competitivo, a quantidade de equilíbrio seria \,50 e o preço de equilíbrio seria \$\;150.
  • As curvas de demanda e de custo marginal são lineares.
O que se pede: calcular o valor do peso morto (monetário) criado pelo monopolista, e escolher a alternativa correta entre:
a. \$\;40
b. \$\;100
c. \$\;200
d. \$\;400

Passo 2

Primeiro passo técnico: determinar explicitamente as funções (linéares) que descrevem a demanda e o custo marginal, usando os pontos que o enunciado fornece. Vou achar a função de demanda inversa P(Q) sabendo que passa por (Q=40,P=160) e por (Q=50,P=150). Como é linear, a inclinação é
\text{slope}_D=\frac{150-160}{50-40}=\frac{-10}{10}=-1.
Então a demanda tem a forma P(Q)=a - Q. Usando o ponto (50,150) para achar a:
150 = a - 50 \quad\Rightarrow\quad a = 200.
Logo a demanda é
P(Q)=200 - Q.

Passo 3

Agora vamos achar a função do custo marginal MC(Q). Sabemos que MC é linear e passa por (40,120) e por (50,150) — o segundo ponto porque, em concorrência perfeita, P=MC em (50,150). A inclinação é
\text{slope}_{MC}=\frac{150-120}{50-40}=\frac{30}{10}=3.
Logo MC(Q)=mQ+b com m=3. Usando MC(40)=120:
120 = 3\cdot 40 + b \quad\Rightarrow\quad 120 = 120 + b \quad\Rightarrow\quad b=0.
Portanto
MC(Q)=3Q.

Passo 4

Verificação rápida de coerência (é útil para a prova): a demanda e o MC obtidos dão de fato o preço e quantidade monopolistas informados? Para monopolista precisamos do produto marginal da receita MR. Se P(Q)=200-Q, a receita R(Q)=P(Q)\cdot Q = 200Q - Q^2. Então
MR(Q)=\frac{dR}{dQ}=200 - 2Q.
O máximo do lucro acontece onde MR=MC:
200 - 2Q = 3Q \quad\Rightarrow\quad 5Q = 200 \quad\Rightarrow\quad Q=40,
e o preço correspondente é P(40)=200-40=160. Tudo bate com os dados do enunciado — bom sinal.

Passo 5

Agora explicar o que é o peso morto que queremos calcular: é a perda de bem-estar (em dinheiro) devido à redução da quantidade produzida pelo monopolista em relação ao nível socialmente eficiente (concorrência perfeita). Graficamente, é a área entre a curva de demanda (valor que consumidores dão por unidades marginais) e a curva de custo marginal (custo social de produzir essas unidades), calculada entre Q=40 e Q=50. Em fórmulas:
\text{peso morto} = \int_{40}^{50} \bigl(P(Q) - MC(Q)\bigr)\, dQ.

Passo 6

Calcular a integral explicitamente usando as funções encontradas. Substituindo P(Q)=200-Q e MC(Q)=3Q:
P(Q) - MC(Q) = 200 - Q - 3Q = 200 - 4Q.
Então
\text{peso morto} = \int_{40}^{50} (200 - 4Q)\, dQ.

Passo 7

Resolver a integral passo a passo:
\int (200 - 4Q)\, dQ = 200Q - 2Q^2 + C.
Avaliaremos de 40 a 50:
\left[200Q - 2Q^2\right]_{40}^{50} = \bigl(200\cdot 50 - 2\cdot 50^2\bigr) - \bigl(200\cdot 40 - 2\cdot 40^2\bigr).
Calcule cada termo:
200\cdot 50 = 10000,\qquad 2\cdot 50^2 = 2\cdot 2500 = 5000,\quad\text{logo }10000-5000=5000.
200\cdot 40 = 8000,\qquad 2\cdot 40^2 = 2\cdot 1600 = 3200,\quad\text{logo }8000-3200=4800.
Subtraindo:
5000 - 4800 = 200.
Portanto o peso morto é \$\,200.

Passo 8

(Método alternativo, mais rápido para a prova) Como P(Q)-MC(Q) cai linearmente de \$\,40 em Q=40 até \$\,0 em Q=50, a área entre as curvas entre 40 e 50 é um triângulo de base \,10 e altura \,40. Assim
\text{peso morto} = \tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura} = \tfrac{1}{2}\times 10 \times 40 = 200,
confirmando o resultado anterior. Isso é prático para a prova: calcule a diferença preço–CM no Q monopolista e aplique a fórmula do triângulo sobre (Q_m,Q_c).

Resposta

c. \$200

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