Considere um preço de monopólio que maximize os lucros sob as seguintes condições. A quantidade que maximiza o lucro é 40 unidades, o preço que maximiza o lucro é
160
$120
$ 150
b.
100$
c.
200$
d.
400$
b.
c.
d.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o peso morto (deadweight loss) criado por um monopolista, dado um conjunto de informações. Dados importantes fornecidos pelo enunciado:
- A quantidade que maximiza o lucro do monopolista é
unidades. - O preço que maximiza o lucro do monopolista é
. - O custo marginal na quantidade
é . - No mercado perfeitamente competitivo, a quantidade de equilíbrio seria
e o preço de equilíbrio seria . - As curvas de demanda e de custo marginal são lineares.
O que se pede: calcular o valor do peso morto (monetário) criado pelo monopolista, e escolher a alternativa correta entre:
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Passo 2
Primeiro passo técnico: determinar explicitamente as funções (linéares) que descrevem a demanda e o custo marginal, usando os pontos que o enunciado fornece. Vou achar a função de demanda inversa
sabendo que passa por
e por
. Como é linear, a inclinação é
Então a demanda tem a forma
. Usando o ponto
para achar
:
Logo a demanda é
Passo 3
Agora vamos achar a função do custo marginal
. Sabemos que
é linear e passa por
e por
— o segundo ponto porque, em concorrência perfeita,
em
. A inclinação é
Logo
com
. Usando
:
Portanto
Passo 4
Verificação rápida de coerência (é útil para a prova): a demanda e o
obtidos dão de fato o preço e quantidade monopolistas informados? Para monopolista precisamos do produto marginal da receita
. Se
, a receita
. Então
O máximo do lucro acontece onde
:
e o preço correspondente é
. Tudo bate com os dados do enunciado — bom sinal.
Passo 5
Agora explicar o que é o peso morto que queremos calcular: é a perda de bem-estar (em dinheiro) devido à redução da quantidade produzida pelo monopolista em relação ao nível socialmente eficiente (concorrência perfeita). Graficamente, é a área entre a curva de demanda (valor que consumidores dão por unidades marginais) e a curva de custo marginal (custo social de produzir essas unidades), calculada entre
e
. Em fórmulas:
Passo 6
Calcular a integral explicitamente usando as funções encontradas. Substituindo
e
:
Então
Passo 7
Resolver a integral passo a passo:
Avaliaremos de
a
:
Calcule cada termo:
Subtraindo:
Portanto o peso morto é
.
Passo 8
(Método alternativo, mais rápido para a prova) Como
cai linearmente de
em
até
em
, a área entre as curvas entre
e
é um triângulo de base
e altura
. Assim
confirmando o resultado anterior. Isso é prático para a prova: calcule a diferença preço–CM no Q monopolista e aplique a fórmula do triângulo sobre
.
Resposta
c.