Considere um problema análogo ao de velocidades variáveis de ventos encontrados em aeronaves transcontinentais. Admitimos uma altitude constante, um solo plano e um voo ao longo do eixo x de 0 a 10 unidades, sem componente vertical de velocidade e sem variação da velocidade do vento como tempo. Admita que \mathbf{a}_{x} é direcionado para o leste, e \mathbf{a}_{y}, para o norte. Suponha que a velocidade do vento na altitude de operação é dada por:
\mathbf{v}(x, y)=\frac{\left(0,01 x^{2}-0,08 x+0,66\right) \mathbf{a}_{x}-(0,05 x-0,4) \mathbf{a}_{y}}{1+0,5 y^{2}}
Determine a localização e a intensidade: (a) da máxima velocidade do vento na cauda; (b) da máxima velocidade do vento na dianteira; (c) da máxima velocidade do vento na lateral; (d) ventos na cauda mais favoráveis estariam disponiveis em alguma outra altitude? Se sim, qual?

Passo 1

O enunciado dá o campo de vento
\mathbf{v}(x,y) =\frac{\bigl(0{,}01\,x^{2}-0{,}08\,x+0{,}66\bigr)\,\mathbf{a}_{x} -\bigl(0{,}05\,x-0{,}4\bigr)\,\mathbf{a}_{y}} {1+0{,}5\,y^{2}}
em que o avião voa ao longo do eixo x (leste) e y é a elevação (altitude) – ou desvio lateral – sem componente vertical.
Temos de encontrar:
(a) máximo vento na cauda =\max(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}_{x});
(b) máximo vento de frente =\min(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}_{x});
(c) máximo vento lateral =\max|\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}_{y}|;
(d) se um outro valor de y (altitude) pode dar cauda mais favorável.

Passo 2

Definimos a componente de cauda
v_{x}(x,y) =\mathbf{v}(x,y)\cdot\mathbf{a}_{x} =\frac{0{,}01\,x^{2}-0{,}08\,x+0{,}66}{1+0{,}5\,y^{2}}.
Para cada x, o denominador 1+0{,}5\,y^{2} é mínimo em y=0. Logo o máximo e o mínimo de v_{x} ocorrem em y=0. Definimos então
f(x)=0{,}01\,x^{2}-0{,}08\,x+0{,}66,
sobre 0\le x\le10.

Passo 3

Calculamos f nos extremos e no vértice. A derivada
f'(x)=0{,}02\,x-0{,}08
zera em x=4. Então
f(0)=0{,}66,\quad f(4)=0{,}01\cdot16-0{,}08\cdot4+0{,}66=0{,}50,\quad f(10)=0{,}01\cdot100-0{,}08\cdot10+0{,}66=0{,}86.
Assim
(a) o máximo de cauda é \max f=0{,}86 em x=10, y=0.

Passo 4

(b) o “máximo” vento de frente (isto é, o valor mínimo de v_{x}) é \min f=0{,}50 em x=4, y=0. Note que f(x)>0 sempre, logo não há vento de frente real, apenas o ponto de menor cauda.

Passo 5

Para o lateral definimos
v_{y}(x,y)=\mathbf{v}(x,y)\cdot\mathbf{a}_{y} =-\frac{0{,}05\,x-0{,}4}{1+0{,}5\,y^{2}}.
O denominador é mínimo em y=0, então basta maximizar \bigl|h(x)\bigr| com
h(x)=-0{,}05\,x+0{,}4,\quad 0\le x\le10.
Na reta, \lvert h(0)\rvert=0{,}4 e \lvert h(10)\rvert=0{,}1. Logo
(c) o máximo vento lateral é 0{,}4 em x=0, y=0.

Passo 6

(d) Como o denominador 1+0{,}5\,y^{2} cresce com \lvert y\rvert, qualquer y\neq0 diminui todas as componentes do vento. Portanto não há outra altitude (ou y) que proporcione vento de cauda mais forte do que em y=0.

Resposta

(a) Em (x,y)=(10,0), v_{\text{cauda}}=0{,}86.
(b) Em (x,y)=(4,0), v_{\text{cauda}} mínimo =0{,}50 (ponto de “máximo” vento de frente).
(c) Em (x,y)=(0,0), v_{\text{lateral}}=0{,}40.
(d) Não; o melhor é sempre em y=0.

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