Suponha que o recipiente da questão anterior seja aberto de modo que o fluido agora tenha sua superfície livre. Modifique a solução da questão anterior de modo a obter a pressão no interior do fluido em função da profundidade.

Passo 1

O enunciado nos coloca no contexto de um fluido em equilíbrio sob o peso da própria coluna, agora com a superfície exposta à atmosfera. O conteúdo aqui é a lei da hidrostática, que relaciona variação de pressão com profundidade em um fluido incompressível. Precisaremos da condição de equilíbrio estático e da condição de contorno de que, na superfície livre, a pressão é a pressão atmosférica.

Passo 2

Para um elemento infinitesimal de fluido em equilíbrio, a soma das forças verticais deve ser nula. Se considerarmos um eixo vertical z positivo para baixo e P(z) a pressão a profundidade z, o equilíbrio nos dá
\frac{dP}{dz} = \rho\,g
onde \rho é a densidade do fluido e g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Integramos a equação diferencial, usando como condição de contorno que na superfície livre z=0 a pressão vale P(0)=P_{\mathrm{atm}}:
\int_{P_{\mathrm{atm}}}^{P(z)} dP = \int_{0}^{z} \rho\,g \,dz'
Isso resulta em
P(z) - P_{\mathrm{atm}} = \rho\,g\,z.

Resposta

P(z) = P_{\mathrm{atm}} + \rho\,g\,z.

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